Die Zweipunktverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik . Sie ist eine einfache diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung , die auf einer zweielementigen Menge { a , b } {\displaystyle \{a,b\}} definiert wird. Bekanntester Spezialfall ist die Bernoulli-Verteilung , die auf { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} definiert ist.
Definition Eine Zufallsvariable X {\displaystyle X} auf { a , b } {\displaystyle \{a,b\}} mit a < b {\displaystyle a<b} heißt zweipunktverteilt, wenn
P ( X = a ) = 1 − p und P ( X = b ) = p {\displaystyle P(X=a)=1-p{\text{ und }}P(X=b)=p} ist.Die Verteilungsfunktion ist dann
F X ( t ) = { 0 falls t < a 1 − p falls t ∈ [ a , b ) 1 falls t ≥ b {\displaystyle F_{X}(t)={\begin{cases}0&{\text{ falls }}t<a\\1-p&{\text{ falls }}t\in [a,b)\\1&{\text{ falls }}t\geq b\end{cases}}} Eigenschaften Sei im Folgenden q = 1 − p {\displaystyle q=1-p} .
Erwartungswert Der Erwartungswert einer zweipunktverteilten Zufallsgröße ist
E ( X ) = ( 1 − p ) ⋅ a + p ⋅ b = q ⋅ a + p ⋅ b {\displaystyle E(X)=(1-p)\cdot a+p\cdot b=q\cdot a+p\cdot b} .Varianz und weitere Streumaße Für die Varianz gilt
V ( X ) = E ( ( X − E ( X ) ) 2 ) = p ⋅ q ⋅ ( b − a ) 2 {\displaystyle V(X)=E\left((X-E(X))^{2}\right)=p\cdot q\cdot (b-a)^{2}} .Demnach ist die Standardabweichung
σ X = ( b − a ) p q {\displaystyle \sigma _{X}=(b-a){\sqrt {pq}}} und der Variationskoeffizient
VarK ( X ) = ( b − a ) p q q a + p b {\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\frac {(b-a){\sqrt {pq}}}{qa+pb}}} .Symmetrie Ist p = 1 2 {\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}} , so ist die Zweipunktverteilung symmetrisch um ihren Erwartungswert.
Schiefe Die Schiefe der Zweipunktverteilung ist
v ( X ) = 1 − 2 p p q {\displaystyle \operatorname {v} (X)={\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}} .Wölbung und Exzess Der Exzess der Zweipunktverteilung ist
γ ( X ) = 1 − 6 p q p q {\displaystyle \gamma (X)={\frac {1-6pq}{pq}}} und damit ist die Wölbung
β 2 ( X ) = 1 − 3 p q p q {\displaystyle \beta _{2}(X)={\frac {1-3pq}{pq}}} .Höhere Momente Die k {\displaystyle k} -ten Momente ergeben sich als
E ( X k ) = q a k + p b k {\displaystyle \operatorname {E} (X^{k})=qa^{k}+pb^{k}} .Dies kann beispielsweise mit der momenterzeugenden Funktion gezeigt werden.
Modus Der Modus der Zweipunktverteilung ist
x D = { a falls q > p a und b falls q = p b falls q < p {\displaystyle x_{D}={\begin{cases}a&{\text{falls }}q>p\\a{\text{ und }}b&{\text{falls }}q=p\\b&{\text{falls }}q<p\end{cases}}} Median Der Median der Zweipunktverteilung ist
m ~ = { a falls q ≥ p b falls q < p {\displaystyle {\tilde {m}}={\begin{cases}a&{\text{falls }}q\geq p\\b&{\text{falls }}q<p\end{cases}}} Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion Sind a , b ∈ N 0 {\displaystyle a,b\in \mathbb {N} _{0}} , so ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion
m X ( t ) = q t a + p t b {\displaystyle m_{X}(t)=qt^{a}+pt^{b}} .Momenterzeugende Funktion Die momenterzeugende Funktion ist für beliebiges a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } gegeben als
M X ( t ) = q e a t + p e b t {\displaystyle M_{X}(t)=qe^{at}+pe^{bt}} .Charakteristische Funktion Die charakteristische Funktion ist für beliebiges a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } gegeben als
φ X ( t ) = q e i a t + p e i b t {\displaystyle \varphi _{X}(t)=qe^{iat}+pe^{ibt}} .Konstruktion der Verteilung zu vorgegebenen Parametern Sind Erwartungswert m {\displaystyle m} , Standardabweichung s {\displaystyle s} und Schiefe t {\displaystyle t} vorgegeben, erhält man wie folgt eine passende Zweipunktverteilung:
p = ( 1 + t / 4 + t 2 ) / 2 , {\displaystyle p=(1+t/{\sqrt {4+t^{2}}})/2,} q = 1 − p , {\displaystyle q=1-p,} a = m − s ⋅ q / p , {\displaystyle a=m-s\cdot {\sqrt {q/p}},} b = m + s ⋅ p / q . {\displaystyle b=m+s\cdot {\sqrt {p/q}}.} Summen von zweipunktverteilten Zufallsvariablen Die Zweipunktverteilung ist für p ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle p\in (0,1)} nicht reproduktiv . Das heißt, wenn X 1 , X 2 {\displaystyle X_{1},X_{2}} zweipunktverteilt sind, dann ist X 1 + X 2 {\displaystyle X_{1}+X_{2}} nicht mehr zweipunktverteilt. Einzige Ausnahme ist der degenerierte Fall mit p = 1 {\displaystyle p=1} (bzw. q = 1 {\displaystyle q=1} ). Dann handelt es sich um eine Dirac-Verteilung auf b {\displaystyle b} (bzw. auf a {\displaystyle a} ), die entsprechend reproduktiv und sogar unendlich teilbar ist.
Beziehung zu anderen Verteilungen Beziehung zur Bernoulli-Verteilung Eine Zweipunktverteilung auf { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} ist eine Bernoulli-Verteilung .
Beziehung zur Rademacher-Verteilung Die Rademacher-Verteilung ist eine Zweipunktverteilung mit a = − 1 , b = 1 , p = q = 1 2 {\displaystyle a=-1,b=1,p=q={\frac {1}{2}}} .
Literatur Thomas Mack: Versicherungsmathematik. 2. Auflage. Verlag Versicherungswirtschaft, 2002, ISBN 388487957X . Multivariate Verteilungen
Diskrete multivariate Verteilungen: Dirichlet compound multinomial | Ewens | gemischt Multinomial | multinomial | multivariat hypergeometrisch | multivariat Poisson | negativmultinomial | Pólya/Eggenberger | polyhypergeometrisch
Kontinuierliche multivariate Verteilungen: Dirichlet | GEM | generalized Dirichlet | multivariat normal | multivariat Student | normalskaliert invers Gamma | Normal-Gamma | Poisson-Dirichlet
Multivariate Matrixverteilungen: Invers Wishart | Matrix Beta | Matrix Gamma | Matrix invers Beta | Matrix invers Gamma | Matrix Normal | Matrix Student-t | Normal-invers-Wishart | Normal-Wishart | Wishart