Zwei-Quadrate-Satz

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat ist ein mathematischer Satz der Zahlentheorie, er lautet:

Eine ungerade Primzahl ${\displaystyle p}$ kann genau dann als

${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$

mit ganzzahligen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ ausgedrückt werden, wenn

${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}.}$

Primzahlen, auf die das zutrifft, nennt man auch pythagoreische Primzahlen.

Beispielsweise sind die Primzahlen 5, 13, 17, 29, 37 und 41 kongruent zu 1 modulo 4 und sie können wie folgt als Summe zweier Quadrate geschrieben werden:

${\displaystyle 5=1^{2}+2^{2},\quad 13=2^{2}+3^{2},\quad 17=1^{2}+4^{2},\quad 29=2^{2}+5^{2},\quad 37=1^{2}+6^{2},\quad 41=4^{2}+5^{2}.}$

Andererseits sind die Primzahlen 3, 7, 11, 19, 23 und 31 kongruent zu 3 modulo 4 und keine kann als Summe zweier Quadrate geschrieben werden. Dies ist der einfachere Teil des Satzes, er folgt sofort aus der Beobachtung, dass ein Quadrat modulo 4 nur zu 0 oder 1 kongruent sein kann.

Historische Bemerkungen

Als Erster hat Albert Girard diese Beobachtung gemacht, er hat sogar alle positiven, ganzen Zahlen, nicht nur Primzahlen, beschrieben, die als Summe zweier Quadrate ausgedrückt werden können, dies wurde 1625 veröffentlicht.^[1][2] Die Aussage, dass jede Primzahl der Form ${\displaystyle 4n+1}$ die Summe zweier Quadrate ist, heißt manchmal Satz von Girard.^[3] Diesen Teil der Aussage sowie die Bestimmung der Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, eine gegebene Primzahlpotenz als Summe zweier Quadrate zu schreiben, hat Fermat in einem Brief an Marin Mersenne ausgearbeitet, dieser datiert vom 25. Dezember 1640. Daher wird diese Version des Satzes manchmal auch Fermats Weihnachtstheorem genannt.

Beweise des Zwei-Quadrate-Satzes

Üblicherweise hat Fermat keine Beweise seiner Behauptungen veröffentlicht, auch für den Zwei-Quadrate-Satz hat er keinen Beweis geliefert. Ein erster Beweis wurde mit viel Aufwand mittels der Methode des unendlichen Abstiegs von Euler gefunden. Er hatte ihn zunächst in zwei Briefen vom 6. Mai 1747 und 12. April 1749 an Goldbach angekündigt, der vollständige Beweis wurde dann zwischen 1752 und 1755 in zwei Artikeln veröffentlicht.^[4][5] Lagrange erbrachte 1775 einen Beweis mittels seiner Untersuchungen über quadratische Formen. Dieser wurde von Gauß in seinen Disquisitiones Arithmeticae vereinfacht. Dedekind lieferte mindestens zwei Beweise, die auf der Arithmetik gaußscher Zahlen fußen. Weiter gibt es einen eleganten Beweis, der den minkowskischen Gitterpunktsatz verwendet. Zagier hat einen sehr kurzen Beweis gefunden, eine Vereinfachung eines früheren kurzen Beweises von Heath-Brown, der wiederum von auf Lagrange zurückgehenden Ideen inspiriert war.^[6] 2016 veröffentlichte D. Christopher einen kombinatorisch-zahlentheoretischen Beweis.^[7]

Verwandte Resultate

Vierzehn Jahre später hatte Fermat zwei verwandte Resultate angekündigt. In einem Brief vom 25. September 1654 an Blaise Pascal behauptete er über eine ungerade Primzahl ${\displaystyle p}$:

• ${\displaystyle p}$ ist genau dann von der Form ${\displaystyle x^{2}+2y^{2}}$, wenn ${\displaystyle p\equiv 1{\mbox{ oder }}p\equiv 3{\pmod {8}}}$,
• ${\displaystyle p}$ ist genau dann von der Form ${\displaystyle x^{2}+3y^{2}}$, wenn ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {3}}}$.

Weiter schrieb er:

Enden zwei Primzahlen auf die Ziffern 3 oder 7 und sind beide um 3 größer als ein Vielfaches von 4, so ist ihr Produkt eine Summe aus einem Quadrat und dem Fünffachen eines Quadrates.

Mit anderen Worten, wenn ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ Primzahlen der Form ${\displaystyle 20k+3}$ oder ${\displaystyle 20k+7}$ sind, dann ist ${\displaystyle pq}$ von der Form ${\displaystyle x^{2}+5y^{2}}$. Euler hat dies später zu der Vermutung ausgeweitet, dass

• ${\displaystyle p}$ genau dann von der Form ${\displaystyle x^{2}+5y^{2}}$ ist, wenn ${\displaystyle p\equiv 1{\mbox{ oder }}p\equiv 9{\pmod {20}}}$,
• ${\displaystyle 2p}$ genau dann von der Form ${\displaystyle x^{2}+5y^{2}}$ ist, wenn ${\displaystyle p\equiv 3{\mbox{ oder }}p\equiv 7{\pmod {20}}}$.

Beide Behauptungen von Fermat sowie die von Euler aufgestellten Vermutungen wurden schließlich von Lagrange bewiesen.

Gemäß der Brahmagupta–Fibonacci-Identität ist das Produkt zweier ganzer Zahlen, die sich beide als Summe zweier Quadrate darstellen lassen, wieder eine Summe zweier Quadrate. Wendet man nun den Zwei-Quadrate-Satz von Fermat auf die Primfaktorzerlegung einer positiven Zahl ${\displaystyle n}$ an, so erkennt man, dass ${\displaystyle n}$ als Summe zweier Quadrate darstellbar ist, falls jeder Primfaktor, der kongruent zu 3 modulo 4 ist, mit einem geradzahligen Exponenten vorkommt. Hiervon gilt auch die Umkehrung.^[8]

Siehe auch

• Drei-Quadrate-Satz von Legendre
• Lemma von Thue
• Quadratsummen-Funktion
• Vier-Quadrate-Satz von Lagrange

Literatur

• L. E. Dickson: History of the Theory of Numbers Band 2. Chelsea Publishing Co., New York 1920
• J. Stillwell: Introduction to Theory of Algebraic Integers by Richard Dedekind, Cambridge University Library, Cambridge University Press 1996, ISBN 0-521-56518-9
• D. A. Cox: Primes of the Form x² + ny², Wiley-Interscience 1989, ISBN 0-471-50654-0

Einzelnachweise

1. ↑ Simon Stevin: l'Arithmétique de Simon Stevin de Bruges, kommentiert von Albert Girard, Leyden 1625, Seite 622.
2. ↑ L. E. Dickson: History of the Theory of Numbers, Band II, Kap. VI, S. 227.
3. ↑ L. E. Dickson: History of the Theory of Numbers, Band II, Kap. VI, S. 228.
4. ↑ De numerus qui sunt aggregata quorum quadratorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 4 (1752/3), 1758, Seiten 3–40)
5. ↑ Demonstratio theorematis FERMATIANI omnem numerum primum formae 4n+1 esse summam duorum quadratorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5 (1754/5), 1760, Seiten 3–13)
6. ↑ D. Zagier: A one-sentence proof that every prime p ≡ 1 (mod 4) is a sum of two squares, American Mathematical Monthly, 1990, Band 97, Seite 144
7. ↑ A. David Christopher. A partition-theoretic proof of Fermat’s Two Squares Theorem, Discrete Mathematics (2016), Band 339, Seiten 1410–1411.
8. ↑ G. H. Hardy, E. M. Wright: An introduction to the theory of numbers, Kapitel 20.1, Theoreme 367 und 368, Oxford 1938.