Van-Trees-Ungleichung

Bei der Van-Trees-Ungleichung handelt es sich um eine zentrale Ungleichung aus der bayesschen Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Ähnlich wie die Cramér-Rao-Ungleichung aus der frequentistischen Statistik liefert sie eine Abschätzung der Varianz für Punktschätzer und damit eine Möglichkeit, unterschiedliche Schätzer miteinander zu vergleichen. Im Unterschied zur Cramér-Rao-Ungleichung verzichtet die Ungleichung auf die Voraussetzung der Erwartungstreue, ist aber dadurch für erwartungstreue Schätzer etwas schwächer. Für große Stichprobenumfänge unterscheidet sich allerdings die Van-Trees-Schranke nur noch geringfügig von der Cramér-Rao-Schranke.

Die Ungleichung ist benannt nach Harry L. van Trees, der die Ungleichung 1968 erstmals aufstellte.

Die Ungleichung

Rahmenbedingungen

Gegeben sei das einparametrige statistische Modell mit dominierendem Maß . Wir bezeichnen mit die Dichte von bezüglich .

Über dem Parameterraum gibt es zusätzlich ein Wahrscheinlichkeitsmaß mit einer Dichte bezüglich des Lebesgue-Maßes. Damit handelt es sich bei unserem Modell um ein bayessches statistisches Modell.

Es gelten weiterhin folgende Regularitätsbedingungen:

  • und sind beide (-fast sicher) absolutstetige Funktionen.
  • ist ein abgeschlossenes Intervall in
  • Die Funktion konvergiert an den Rändern des Definitionsintervalls gegen .

Formulierung

Sei ein Schätzer für den Parameter und eine Zufallsvariable, die wie verteilt ist. Wir nehmen zudem an, dass gilt.

Sei des Weiteren

die Fisher-Information für beziehungsweise für einen Parameter in . Dabei ist der (gewöhnliche) Erwartungswert bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes und der Erwartungswert bezüglich des gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsmaßes von und einer -verteilten Zufallsvariable .

Die Ungleichung von van Trees besagt nun:

Anwendungen

Die Ungleichung kann verwendet werden, um zu zeigen, dass in ein- oder zweiparametrigen Modellen keine supereffizienten Schätzer existieren. Dabei ist unter einem supereffizienten Schätzer ein (nicht-erwartungstreuer) Schätzer gemeint, der die Cramér-Rao-Ungleichung unterschreitet.

Literatur

  • Richard D. Gill, Boris Y. Levit: Applications of the van Trees inequality: a Bayesian Cramér-Rao bound. In: Bernoulli. 1, no. 1–2, 1995, S. 59–79. (projecteuclid.org)