Unendlich-Kategorie

In der Mathematik ist der Begriff der Unendlich-Kategorie, -Kategorie oder Quasikategorie eine Verallgemeinerung des Begriffs der Kategorie.

Während man in einer Kategorie Morphismen zwischen Objekten und in einer 2-Kategorie zusätzlich 2-Morphismen zwischen Morphismen hat, gibt es in einer Unendlich-Kategorie -Morphismen zwischen -Morphismen für alle

Definition

Eine Unendlich-Kategorie ist eine simpliziale Menge , die die schwache Kan-Erweiterungs-Eigenschaft erfüllt:

Für kann jede simpliziale Abbildung zu einer simplizialen Abbildung fortgesetzt werden.

Dabei bezeichnet den -dimensionalen Standardsimplex und das durch Weglassen von aus entstehende „Horn“.

Beispiele

  • Kan-Komplexe sind Unendlich-Kategorien, bei denen die gewünschte Fortsetzung auch für und stets existiert.[1]
  • Der Nerv einer kleinen Kategorie ist eine Unendlich-Kategorie, in der die gewünschte Fortsetzung stets eindeutig ist.[2] Umgekehrt ist eine Unendlich-Kategorien mit eindeutigen Fortsetzungen isomorph zum Nerven einer kleinen Kategorie.[3]
  • Das Produkt und Koprodukt (als simpliziale Mengen) von Unendlich-Kategorien ist eine Unendlich-Kategorie.

Objekte, Morphismen und Funktoren

Ein Objekt einer Unendlich-Kategorie ist ein 0-Simplex . Ein Morphismus einer Unendlich-Kategorie ist ein 1-Simplex . Seine Ränder und heißen Quelle und Ziel des Morphismus. Man sagt dann, ist ein Morphismus von nach . Für jedes Objekt wird die degenerierte Kante als Identitätsmorphismus von bezeichnet.

Eine Homotopie zwischen zwei Morphismen ist ein 2-Simplex mit , und .

Ein Morphismus heißt Komposition zweier Morphismen und , wenn es einen 2-Simplex mit gibt. Die schwache Kan-Eigenschaft garantiert, dass eine Komposition von nach stets existiert, sie ist aber nur bis auf Homotopie eindeutig bestimmt.

Die Homotopie-Kategorie einer Unendlich-Kategorie hat als Objekte die Objekte von und als Morphismen die Homotopieklassen von Morphismen in . Die Homotopieklasse von ist der Identitätsmorphismus von in und die wohldefinierte Komposition von Homotopieklassen definiert die Komposition von Morphismen.

Ein Isomorphismus in der Unendlich-Kategorie ist ein Morphismus, dessen Homotopieklasse ein Isomorphismus in ist.

Ein Funktor von Unendlich-Kategorien ist eine simpliziale Abbildung . Auf der Menge der Funktoren ist wieder die Struktur einer Unendlich-Kategorie erklärt. Sie wird mit bezeichnet.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Kerodon Tag 002H
  2. Kerodon Tag 002N
  3. Kerodon Tag 0031