Tesserakt

Tesserakt
(8-Zeller)
4-Kubus
Hypercube.svg
Schlegeldiagramm
GruppeReguläre Polytope
FamilieHyperkubus
Zellen8 (4.4.4) Hexahedron.png
Flächen24 {4}
Kanten32
Ecken16
Schläfli-Symbole{4,3,3}
{4,3}x{}
{4}x{4}
{4}x{}x{}
{}x{}x{}x{}
Coxeter-Dynkin-DiagrammeCDW ring.pngCDW 4.pngCDW dot.pngCDW 3.pngCDW dot.pngCDW 3.pngCDW dot.png
CDW ring.pngCDW 4.pngCDW dot.pngCDW 3.pngCDW dot.pngCDW 2.pngCDW ring.png
CDW ring.pngCDW 4.pngCDW dot.pngCDW 2.pngCDW ring.pngCDW 4.pngCDW dot.png
CDW ring.pngCDW 4.pngCDW dot.pngCDW 2.pngCDW ring.pngCDW 2.pngCDW ring.png
CDW ring.pngCDW 2.pngCDW ring.pngCDW 2.pngCDW ring.pngCDW 2.pngCDW ring.png
SymmetriegruppeB4, [3,3,4]
Eigenschaftenkonvex

Der Tesserakt [ˈtɛsərakt] (von altgriechisch τέσσερες ἀκτίνεςtésseres aktínes, deutsch ‚vier Strahlen‘) ist eine Übertragung des klassischen Würfelbegriffs auf vier Dimensionen. Man spricht dabei auch von einem vierdimensionalen Hyperwürfel. Der Tesserakt verhält sich zum Würfel wie der Würfel zum Quadrat. Er hat 16 Ecken, 32 gleich lange Kanten, 24 quadratische Flächen, und wird durch 8 würfelförmige Zellen begrenzt. Diese Zellen bezeichnet man auch als Begrenzungswürfel des Tesserakts. In jeder Ecke treffen 4 Kanten, 6 Flächen und 4 Zellen jeweils senkrecht aufeinander.

Die Bilder in diesem Artikel sind als Bilder von Tesserakten unter Parallelprojektionen zu verstehen. Unten im rechten Bild erkennt man einen blauen und einen gelben Würfel, die durch sechs weitere rhomboedrisch verzerrte Begrenzungswürfel verbunden sind. Beim dreidimensionalen Netz des Tesserakts (links im ersten Bild) sind alle acht Begrenzungswürfel in den dreidimensionalen Raum gefaltet, so wie die Seitenflächen eines dreidimensionalen Würfels in ein Netz aus sechs Quadraten entfaltet werden können. Es gibt 261 Arten, einen Tesserakt zu entfalten.

Im folgenden Bild ist ein Netz des Tesserakts links zu sehen, und rechts unten eine zweidimensionale Parallelprojektion des Tesserakts.

Netz und Parallelprojektion des Tesseraktes

Die Konstruktion der längsten Diagonalen von Quadrat, Würfel und Tesserakt

Die längste Diagonale eines Hyperwürfels entspricht der Quadratwurzel seiner Dimensionsanzahl multipliziert mit seiner Kantenlänge. Beim Tesserakt ist daher die längste Diagonale zwei Kantenlängen lang. Wenn man bei einem Tesserakt seine acht gegenüberliegenden Begrenzungswürfel paarweise miteinander verheftet, entsteht ein 4-Torus.

Projektionen in zwei Dimensionen

eine Tabelle, die vier Abbildungen die Zahlen 0, 1, 2, 3 und 4 zuordnet. Bei den Zahlen handelt es sich um die Anzahl der Dimensionen in der jeweiligen Abbildung. Die mit "0" beschriftete Abbildung ist ein Punkt. Abbildung 1 ist eine Linie. Abbildung 2 ist eine Fläche. Abbildung 3 ist ein Würfel. Abbildung 4 sind zwei Würfel, deren Ecken miteinander verbunden sind. Daher stellt Abbildung 4 einen Tesserakt dar. Die Linien zwischen den Würfelecken sind die vierte Dimension.
schrittweise Konstruktion eines Tesserakts

Die Konstruktion eines Hyperwürfels ist folgendermaßen möglich:

  1. Zwei Punkte A und B werden zu einer (eindimensionalen) Strecke verbunden, mit den Endpunkten A und B.
  2. Zwei parallele Strecken AB und CD gleicher Länge werden zu einem (zweidimensionalen) Quadrat verbunden. Dieses hat die Ecken A, B, C und D.
  3. Zwei parallele Quadrate ABCD und EFGH gleichen Flächeninhalts werden zu einem (dreidimensionalen) Würfel verbunden. Dieser hat die Ecken A, B, C, D, E, F, G und H.
  4. Zwei parallele Würfel ABCDEFGH und IJKLMNOP mit gleichem Volumen werden zu einem (vierdimensionalen) Hyperwürfel verbunden. Dieser hat die Ecken A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O und P.

Es ist möglich, Tesserakte in drei- oder zweidimensionale Räume zu projizieren. Außerdem werden Projektionen in die zweite Dimension aufschlussreicher, wenn man die projizierten Eckpunkte umordnet. Mit dieser Methode kann man Bilder erhalten, die nicht mehr die Raumbeziehungen innerhalb des Tesserakts widerspiegeln, aber die Verbindungsstruktur der Eckpunkte, wie folgende Beispiele zeigen:

Ein Tesserakt wird im Prinzip durch zwei verbundene Würfel gebildet. Das Schema ist der Konstruktion eines Würfels von zwei Quadraten ähnlich: Man stellt zwei Kopien des niedrigerdimensionalen Würfels nebeneinander und verbindet die entsprechenden Scheitelpunkte. Jede Kante eines Tesserakts ist von derselben Länge. Acht Würfel, die miteinander verbunden sind.

Tesserakte sind bipartite Graphen, genau wie Linien, Quadrate und Würfel.

Projektionen in drei Dimensionen

Das Rhombendodekaeder bildet die Hülle dieser Projektion eines Tesserakts in 3 Dimensionen

Die Zelle-Zuerst-Parallelprojektion des Tesserakts in den dreidimensionalen Raum hat eine würfelförmige Hülle. Die nächsten und entferntesten Flächen werden auf den Würfel projiziert und die übrigen 6 Zellen werden auf die quadratischen Flächen des Würfels projiziert.

Die Fläche-Zuerst-Parallelprojektion des Tesserakts in den 3-dimensionalen Raum hat eine quaderförmige Hülle. Zwei Paare der Zellen projizieren die obere und untere Hälfte der Hülle und die 4 übrigen Zellen werden auf die Seitenflächen projiziert.

Die Kante-Zuerst-Parallelprojektion des Tesserakts in den dreidimensionalen Raum hat eine Hülle in der Form eines hexagonalen Prismas. Sechs Zellen werden auf rhombische Prismen projiziert, die im hexagonalen Prisma ausgelegt sind, analog dazu, wie die Flächen eines 3D-Würfels auf eine hexagonale Hülle in der Ecke-Zuerst-Projektion ausgelegt sind. Die zwei übrigen Zellen sind auf die Basen des Prismas projiziert.

Die Ecke-Zuerst-Parallelprojektion des Tesserakts in den dreidimensionalen Raum hat eine rhombische dodekaederförmige Hülle.

Bildergalerie

Stereographic polytope 8cell.png
Stereografische Projektion
(Die Kanten sind auf eine Hyperkugel projiziert)
Hypercubecentral.svg
Einfache Ecken-Grafik
8-cell-simple.gif
Eine 3D-Projektion eines 8-Zellers, der eine einfache Rotation um eine Ebene, die die Figur von vorne links nach hinten rechts und von oben nach unten teilt, ausführt.
Tesseract.gif
Eine 3D-Projektion eines 8-Zellers, der eine doppelte Rotation um zwei orthogonale Ebenen ausführt.
Orthogonale Projektion mit deckungsgleichen Innenecken und farblich differenzierten Dimensionskanten.
Orthogonale Projektion
Hypercubecubes.svgHypercubeorder.svgHypercubestar.svg
Tesseract2.svg
Ein Netz eines Tesserakts.
(Animation ansehen.)
3D stereographic projection tesseract.PNG
Eine stereografische 3D-Projektion eines Tesserakts.

Tesserakt in der Kultur

Literatur

  • Ein Gebäude in der Form eines Tesserakts liegt der Science-Fiction-Kurzgeschichte von Robert Heinlein —And He Built a Crooked House— aus dem Jahr 1941 zugrunde.
  • In dem Roman Die Zeitfalte von Madeleine L’Engle erlaubt die Methode der „Tesserung“ (im Original Tesseract) das Reisen über weite Entfernungen durch Raum und Zeit.
  • Im Marvel-Comics-Universum ist ein mächtiger, kosmischer Würfel nach dem Tesserakt benannt. Abgesehen von der Form und dem Namen hat dieser Gegenstand nichts mit dem oben erklärten Tesserakt gemeinsam. In der filmischen Adaption des Universums tritt der Tesserakt mehrfach auf.

Film

  • Im Film Interstellar befindet sich der Hauptcharakter zum Ende der Handlung im Innern des Ereignishorizonts einer Singularität in einem Raum, in dem die Zeit als vierte Raumdimension erscheint, dieser Raum erscheint optisch als dreidimensionale Projektion eines Tesserakts und wird auch als solcher bezeichnet.
  • Der Tesserakt spielt eine große Rolle im Film Cube 2: Hypercube sowie in der Fernsehserie Gene Roddenberry's Andromeda.

Musik

Siehe auch

Literatur

  • Gudrun Wolfschmidt: Popularisierung der Naturwissenschaften. Institut für Geschichte der Naturwissenschaften, Mathematik und Technik (IGN) der Universität Hamburg. Diepholz, Verlag für Geschichte der Naturwissenschaft und der Technik, Berlin 2002, ISBN 3-928186-59-0, 17. Kapitel.

Weblinks

Wiktionary: Tesserakt – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Auf dieser Seite verwendete Medien

8-cell-simple.gif
Erstellt von Jason Hise mit Maya und Macromedia Fireworks. Eine 3D-Projektion eines 8-Zellers (Tesserakt), der eine einfache Rotation um eine Ebene ausführt. Letztere teilt die Figur von vorne links nach hinten rechts und von oben nach unten.
CDW 4.png
Autor/Urheber: Tomruen, Lizenz: CC-BY-SA-3.0
Element de diagramme de Coxeter-Dynkin
Tesseract.gif
Animated projection of a rotating tesseract. Created using Maya and Macromedia Fireworks.
Orthogonale-Farb-Abbildung.gif
Autor/Urheber: Schwarzgriesel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Orthogonale Projektion mit deckungsgleichen Innenecken und farblich differenzierten Dimensionskanten. Die weißen Streben dienen nur der Stabilisierung der Konstruktion.
Hypercubecubes.svg
This pseudo-projection of the tesseract or 4-dimensional cube is very similar to the vertex-first-projection. This diagram shows the tesseract as the 4-dimensional measure-polytope, is thus a 4-dimensional cartesian coordinate-system in its 2-dimensional representation.
DIAGON01 LAENGSTE DIAGONALEN.PNG
Autor/Urheber: de:Benutzer:Karl Bednarik, Lizenz: Copyrighted free use
Die Konstruktion der längsten Diagonalen von Quadrat, Würfel und Tesserakt.
Stereographic polytope 8cell.png

Projection stéréographique d'un 8-cellules, un polytope 4-dimensionnel.

Les sommets et les arêtes sont montrées, les faces ne le sont pas.
Hypercube.svg
Autor/Urheber: unknown, Lizenz: CC-BY-SA-3.0
Dimension levels.svg
Autor/Urheber: NerdBoy1392, Lizenz: CC BY-SA 3.0
A drawing of the first four dimensions. On the left is zero dimensions (a point) and on the right is four dimensions (A tesseract). There is an axis and labels on the right and which level of dimensions it is on the bottom. The arrows alongside the shapes indicate the direction of extrusion.
3D stereographic projection tesseract.PNG
Autor/Urheber: Maninthemasterplan, Lizenz: CC-BY-SA-3.0
Stereographic image of a tesseract projected in 3 Dimensions
CDW 3.png
Graphic element for Coxeter-Dynkin diagram with whole numbers.
Tesseract net.svg
The net of a tesseract and its parallel projection.
Hypercubeorder.svg

The 4D-hypercube, layered according to distance from one corner.
As described in "Alice in Wonderland" by the Cheshire Cat, this vertex-first-shadow of the tesseract forms a rhombic dodecahedron.
The two central vertices would coincide in an orthogonal projection from 4 to 3 dimensions, but here they were drawn slightly apart.

This SVG was created with Inkscape.
CDW ring.png
Autor/Urheber: Tomruen, Lizenz: CC-BY-SA-3.0
Elément graphique pour le diagramme de Coxeter-Dynkin avec les nombres entiers
CDW dot.png
Autor/Urheber: Tomruen, Lizenz: CC-BY-SA-3.0
Elément graphique pour le diagramme de Coxeter-Dynkin avec les nombres entiers
Hypercubecentral.svg
The central projection of the four dimensional hypercube (tesseract or octahedroid) in 3D space.
CDW 2.png
Graphic element for Coxeter-Dynkin diagram with whole numbers.
Hexahedron.png

Image d'un cube
Tesseract2.svg
(See above, text taken from cited source)