Studentsche t-Verteilung

Dichten von ${\displaystyle t}$-verteilten Zufallsgrößen

Die studentsche t-Verteilung (auch Student-t-Verteilung oder kurz t-Verteilung) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die 1908 von William Sealy Gosset entwickelt^[1] und nach seinem Pseudonym Student benannt wurde.^[2]

Gosset hatte festgestellt, dass die standardisierte Schätzfunktion des Stichproben-Mittelwerts normalverteilter Daten nicht mehr normalverteilt, sondern ${\displaystyle t}$-verteilt ist, wenn die zur Standardisierung des Mittelwerts benötigte Varianz des Merkmals unbekannt ist und mit der Stichprobenvarianz geschätzt werden muss. Seine ${\displaystyle t}$-Verteilung erlaubt – insbesondere für kleine Stichprobenumfänge – die Berechnung der Verteilung der Differenz vom Mittelwert der Stichprobe zum wahren Mittelwert der Grundgesamtheit.

Die ${\displaystyle t}$-Werte hängen vom Signifikanzniveau sowie von der Stichprobengröße ${\displaystyle n}$ ab und bestimmen das Vertrauensintervall und damit die Aussagekraft der Schätzung des Mittelwertes. Die ${\displaystyle t}$-Verteilung wird mit wachsendem ${\displaystyle n}$ schmaler und geht für ${\displaystyle n\to \infty }$ in die Normalverteilung über (siehe Grafik rechts). Hypothesentests, bei denen die ${\displaystyle t}$-Verteilung Verwendung findet, bezeichnet man als t-Tests.

Die Herleitung wurde erstmals 1908 veröffentlicht,^[1] als Gosset in der Dubliner Guinness-Brauerei arbeitete. Da sein Arbeitgeber die Veröffentlichung nicht gestattete, veröffentlichte Gosset sie unter dem Pseudonym Student. Der t-Faktor und die zugehörige Theorie wurden erst durch die Arbeiten von R. A. Fisher belegt, der die Verteilung Student’s distribution (Student'sche Verteilung) nannte.

Die ${\displaystyle t}$-Verteilung kommt allerdings auch schon in früheren Publikationen anderer Autoren vor. Zuerst wurde sie 1876 von Jacob Lüroth als A-posteriori-Verteilung bei der Behandlung eines Problems der Ausgleichsrechnung hergeleitet, 1883 in einem ähnlichen Zusammenhang von Edgeworth^[3][4].

Definition

Eine stetige Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ genügt der studentschen ${\displaystyle t}$-Verteilung mit ${\displaystyle n>0}$ Freiheitsgraden, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{{\sqrt {n\pi }}~\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad -\infty <x<+\infty }$

besitzt. Dabei ist

${\displaystyle \Gamma (x)=\int \limits _{0}^{+\infty }t^{x-1}e^{-t}\operatorname {d} t}$

die Gamma-Funktion. Für natürliche Zahlen ${\displaystyle n}$ gilt insbesondere (hierbei bezeichnet ${\displaystyle n!}$ die Fakultät von ${\displaystyle n}$)

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!,\quad \Gamma \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {(2n)!}{n!\,4^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}.}$

Alternativ lässt sich die ${\displaystyle t}$-Verteilung mit ${\displaystyle n}$ Freiheitsgraden auch definieren als die Verteilung der Größe

${\displaystyle t_{n}\equiv {\frac {Z}{\sqrt {\chi _{n}^{2}/n}}}}$,

wobei ${\displaystyle Z}$ eine standardnormalverteilte Zufallsvariable und ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$ eine, von ${\displaystyle Z}$ unabhängige, Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariable mit ${\displaystyle n}$ Freiheitsgraden ist.

Verteilung

Die Verteilungsfunktion lässt sich geschlossen ausdrücken als

${\displaystyle F_{n}(t)=I\left({\frac {t+{\sqrt {t^{2}+n}}}{2{\sqrt {t^{2}+n}}}},{\frac {n}{2}},{\frac {n}{2}}\right)}$

oder als

${\displaystyle F_{n}(t)={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {t}{|t|}}I\left({\frac {t^{2}}{t^{2}+n}},{\frac {1}{2}},{\frac {n}{2}}\right)\right)}$

mit

${\displaystyle I(z,a,b)={\frac {1}{B(a,b)}}\int _{0}^{z}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\mathrm {d} t,}$

wobei ${\displaystyle B}$ die Betafunktion darstellt.

${\displaystyle F_{n}(t)}$ berechnet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine gemäß ${\displaystyle f_{n}(x)}$ verteilte Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ einen Wert kleiner oder gleich ${\displaystyle t}$ erhält.

Eigenschaften

Es sei ${\displaystyle X}$ eine ${\displaystyle t}$-verteilte Zufallsvariable mit ${\displaystyle n}$ Freiheitsgraden und Dichte ${\displaystyle f_{n}(x)}$.

Wendepunkte

Die Dichte besitzt Wendepunkte bei

${\displaystyle x=\pm \,{\sqrt {\frac {n}{n+2}}}.}$

Median

Der Median ist

${\displaystyle {\tilde {x}}=0.}$

Modus

Der Modus ergibt sich zu

${\displaystyle x_{D}=0.}$

Symmetrie

Die Studentsche ${\displaystyle t}$-Verteilung ist symmetrisch um die 0.

Erwartungswert

Für den Erwartungswert erhält man für ${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=0.}$

Der Erwartungswert für ${\displaystyle n=1}$ existiert nicht.

Varianz

Die Varianz ergibt sich für ${\displaystyle n>2}$ zu

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {n}{n-2}}.}$

Schiefe

Die Schiefe ist für ${\displaystyle n>3}$

${\displaystyle \operatorname {v} (X)=0.}$

Wölbungen

Für die Kurtosis-Wölbung ${\displaystyle \beta _{2}}$ und die Exzess-Wölbung ${\displaystyle \gamma _{2}}$ erhält man für ${\displaystyle n>4}$

${\displaystyle \operatorname {\beta _{2}} (X)={\frac {\mu _{4}}{\mu _{2}^{2}}}={\frac {3n-6}{n-4}},\qquad \operatorname {\gamma _{2}} (X)={\frac {\mu _{4}}{\mu _{2}^{2}}}-3={\frac {6}{n-4}}.}$

Momente

Für die ${\displaystyle k}$-ten Momente ${\displaystyle m_{k}=\operatorname {E} (X^{k})}$ und die ${\displaystyle k}$-ten zentralen Momente ${\displaystyle \mu _{k}=\operatorname {E} ([X-\operatorname {E} (X)]^{k})}$ gilt:

${\displaystyle m_{k}=\mu _{k}=0,{\text{ falls }}n>k{\text{ und }}k{\text{ ungerade}}}$

${\displaystyle m_{k}=\mu _{k}=n^{k/2}\cdot {\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\dotsm (k-1)}{(n-2)\cdot (n-4)\cdot (n-6)\dotsm (n-k)}},{\text{ falls }}n>k{\text{ und }}k{\text{ gerade}}}$

Beziehung zur Betaverteilung

Das Integral

${\displaystyle \int _{0}^{z}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\mathrm {d} t}$

ist die unvollständige Betafunktion

${\displaystyle B(z;a,b),}$

wobei

${\displaystyle B(a,b)=B(1;a,b)}$ den Zusammenhang zur vollständigen Betafunktion herstellt. Dann ist für ${\displaystyle t>0}$

${\displaystyle F_{n}(t)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}I(z,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {n}{2}})={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\frac {B(z_{t};{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {n}{2}})}{B(1;{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {n}{2}})}}}$

mit

${\displaystyle z_{t}={\frac {t^{2}}{t^{2}+n}}.}$

Wenn t gegen unendlich geht, strebt ${\displaystyle z_{t}}$ gegen 1. Im Grenzfall steht im Zähler und Nenner obigen Bruches also dasselbe, das heißt, man erhält:

${\displaystyle F_{n}(t)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}I(z_{t},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {n}{2}})\rightarrow {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}=1}$

Nichtzentrale t-Verteilung

Die Größe

${\displaystyle {\frac {Z+\delta }{\sqrt {\chi _{n}^{2}/n}}}}$

mit ${\displaystyle Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ und ${\displaystyle \delta }$ als Nichtzentralitätsparameter folgt der sogenannten nichtzentralen ${\displaystyle t}$-Verteilung.^[5] Diese Verteilung wird vor allem zur Bestimmung des β-Fehlers bei Hypothesentests mit ${\displaystyle t}$-verteilter Prüfgröße verwendet. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte lautet:^[6]

${\displaystyle f(x)={\frac {n^{n/2}n!e^{-\delta ^{2}/2}}{2^{n}\Gamma \left(n/2\right)(x^{2}+n)^{(n+1)/2}}}\left({\frac {{\sqrt {2}}\delta x}{\sqrt {x^{2}+n}}}{\frac {_{1}{\mathcal {F}}_{1}\left(n/2+1,3/2,{\frac {(\delta x)^{2}}{2(x^{2}+n)}}\right)}{\Gamma \left((n+1)/2\right)}}+{\frac {_{1}{\mathcal {F}}_{1}\left((n+1)/2,1/2,{\frac {(\delta x)^{2}}{2(x^{2}+n)}}\right)}{\Gamma \left(n/2+1\right)}}\right)}$

Einige Dichten von nichtzentralen ${\displaystyle t}$-Verteilungen

Die Klammer mit der Summe hypergeometrischer Funktionen lässt sich noch etwas einfacher schreiben,^[7] sodass ein kürzerer alternativer Ausdruck für die Dichte entsteht:

${\displaystyle f(x)={\frac {2^{n}n^{n/2+1}\Gamma \left((n+1)/2\right)}{\pi (x^{2}+n)^{(n+1)/2}}}e^{-\delta ^{2}/2}H_{-n-1}\left(-{\frac {\delta x}{{\sqrt {2}}{\sqrt {x^{2}+n}}}}\right),}$

wobei ${\displaystyle H_{-n-1}\left(z\right)}$ ein Hermitesches Polynom mit negativem Index darstellt mit ${\displaystyle H_{-n-1}\left(0\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{n+1}\Gamma \left(n/2+1\right)}}}$.

Der Erwartungswert liegt für ${\displaystyle n>1}$ bei

${\displaystyle {\frac {\delta {\sqrt {n}}\Gamma \left((n-1)/2\right)}{{\sqrt {2}}\Gamma \left(n/2\right)}}}$

und die Varianz (für ${\displaystyle n>2}$) bei

${\displaystyle {\frac {(1+\delta ^{2})n}{n-2}}-{\frac {\delta ^{2}n\Gamma \left((n-1)/2\right)^{2}}{2\Gamma \left(n/2\right)^{2}}}.}$

Mit ${\displaystyle \delta =0}$ erhält man die Kennwerte der zentralen ${\displaystyle t}$-Verteilung.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Cauchy-Verteilung

Für ${\displaystyle n=1}$ und mit ${\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}$ ergibt sich die Cauchy-Verteilung als Spezialfall aus der Studentschen ${\displaystyle t}$-Verteilung.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung und Standardnormalverteilung

Die ${\displaystyle t}$-Verteilung beschreibt die Verteilung eines Ausdruckes

${\displaystyle t_{n}\equiv {\frac {{\mathcal {N}}(0,1)}{\sqrt {\frac {\chi _{n}^{2}}{n}}}},}$

wobei ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ eine standardnormalverteilte und ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$ eine Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariable mit ${\displaystyle n}$ Freiheitsgraden bedeutet. Die Zählervariable muss unabhängig von der Nennervariable sein. Die Dichtefunktion der ${\displaystyle t}$-Verteilung ist dann symmetrisch bezüglich ihres Erwartungswertes ${\displaystyle 0}$. Die Werte der Verteilungsfunktion liegen in der Regel tabelliert vor.

Verteilung mit schweren Rändern

Die Verteilung gehört zu den Verteilungen mit schweren Rändern.

Näherung durch die Normalverteilung

Mit steigender Zahl von Freiheitsgraden kann man die Verteilungswerte der ${\displaystyle t}$-Verteilung mit Hilfe der Normalverteilung annähern. Als Faustregel gilt, dass ab 30 Freiheitsgraden die ${\displaystyle t}$-Verteilungsfunktion durch die Normalverteilung approximiert werden kann.

Verwendung in der mathematischen Statistik

Verschiedene Schätzfunktionen sind ${\displaystyle t}$-verteilt.

Wenn die unabhängigen Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n}}$ identisch normalverteilt sind mit Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und Standardabweichung ${\displaystyle \sigma }$, kann bewiesen werden, dass der Stichprobenmittelwert

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

und die Stichprobenvarianz

${\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}$

stochastisch unabhängig sind.

Weil die Zufallsgröße ${\displaystyle {\tfrac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}}$ eine Standardnormalverteilung hat und ${\displaystyle (n-1)\,S^{2}/\sigma ^{2}}$ einer Chi-Quadrat-Verteilung mit ${\displaystyle n-1}$ Freiheitsgraden folgt, ergibt sich, dass die Größe

${\displaystyle t_{n-1}={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sigma }}={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\cdot {\frac {\sigma }{S}}={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}/\left({\frac {S}{\sigma }}\right)={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}/{\sqrt {\chi _{n-1}^{2}/(n-1)}}}$

nach Definition ${\displaystyle t}$-verteilt ist mit ${\displaystyle n-1}$ Freiheitsgraden.

Also ist der Abstand des gemessenen Mittelwertes vom Mittelwert der Grundgesamtheit verteilt wie ${\displaystyle t_{n-1}S/{\sqrt {n}}}$. Damit berechnet man dann das 95-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert ${\displaystyle \mu }$ zu

${\displaystyle {\overline {x}}-t\cdot S/{\sqrt {n}}\leq \mu \leq {\overline {x}}+t\cdot S/{\sqrt {n}},}$

wobei ${\displaystyle t}$ durch ${\displaystyle F_{n-1}(t)=0{,}975}$ bestimmt ist. Dieses Intervall ist für ${\displaystyle n<\infty }$ etwas größer als dasjenige, welches sich mit bekanntem ${\displaystyle \sigma }$ aus der Verteilungsfunktion der Normalverteilung bei gleichem Konfidenzniveau ergeben hätte ${\displaystyle \left(\mu \in \left[{\overline {x}}\pm 1{,}96\cdot {\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right]\right)}$.

Herleitung der Dichte

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der ${\displaystyle t}$-Verteilung lässt sich herleiten aus der gemeinsamen Dichte der beiden unabhängigen Zufallsvariablen ${\displaystyle Z}$ und ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$, die standardnormal beziehungsweise Chi-Quadrat-verteilt sind:^[8]

${\displaystyle f_{Z,\chi _{n}^{2}}(z,y)={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}z^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {y^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {1}{2}}y}}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}$

Mit der Transformation

${\displaystyle t=z/{\sqrt {y/n}},v=y}$

bekommt man die gemeinsame Dichte von ${\displaystyle T=Z/{\sqrt {\chi _{n}^{2}/n}}}$ und ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$, wobei ${\displaystyle -\infty <t<\infty }$ und ${\displaystyle 0\leq v<\infty }$.

Die Jacobideterminante dieser Transformation ist:

${\displaystyle \det {\frac {\partial (z,y)}{\partial (t,v)}}={\begin{vmatrix}{\sqrt {\frac {v}{n}}}&0\\\Diamond &1\end{vmatrix}}={\sqrt {\frac {v}{n}}}}$

Der Wert ${\displaystyle \Diamond }$ ist unwichtig, weil er bei der Berechnung der Determinante mit 0 multipliziert wird. Die neue Dichtefunktion schreibt sich also

${\displaystyle f_{T,\chi _{n}^{2}}(t,v)={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}v{\frac {t^{2}}{n}}}}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}v^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {1}{2}}v}\cdot {\sqrt {\frac {v}{n}}}.}$

Gesucht ist nun die Randverteilung ${\displaystyle f_{n}(t)}$ als Integral über die nicht interessierende Variable ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle f_{n}(t)=\int \limits _{0}^{\infty }f_{T,\chi _{n}^{2}}(t,v)\,dv={\frac {1}{{\sqrt {n\pi }}\,2^{(n+1)/2}\Gamma (n/2)}}\int \limits _{0}^{\infty }v^{(n-1)/2}e^{-v(1+t^{2}/n)/2}\,dv={\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{{\sqrt {n\pi }}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {t^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}}$

Ausgewählte Quantile der t-Verteilung

Tabelliert sind ${\displaystyle t}$-Werte für verschiedene Freiheitsgrade ${\displaystyle n}$ und gebräuchliche Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle P}$ (0,75 bis 0,999), wofür gilt:

${\displaystyle P_{\text{einseitig}}=F_{n}(t)=P(T_{n}\leq t)}$

Aufgrund der Spiegelsymmetrie der Dichte braucht man für den Fall des beidseitig symmetrisch begrenzten Intervalls nur die Wahrscheinlichkeitsskala anzupassen. Dabei verringern sich die Wahrscheinlichkeiten bei gleichem ${\displaystyle t}$, denn das Integrationsintervall wird durch Wegschneiden des Bereichs von ${\displaystyle -\infty }$ bis ${\displaystyle -t}$ reduziert:

${\displaystyle P_{\text{zweiseitig}}=F_{n}(t)-F_{n}(-t)=P(-t<T_{n}\leq t)=2P_{\text{einseitig}}-1}$

Werden bei einer Stichprobe ${\displaystyle N}$ Beobachtungen durchgeführt und aus der Stichprobe ${\displaystyle m}$ Parameter geschätzt, so ist ${\displaystyle n=N-m}$ die Anzahl der Freiheitsgrade.

Zu der Anzahl von Freiheitsgraden ${\displaystyle n}$ in der ersten Spalte und dem Signifikanzniveau ${\displaystyle \alpha }$ (dargestellt als ${\displaystyle 1-\alpha }$ in der zweiten Zeile) wird in jeder Zelle der folgenden Tabelle der Wert des (einseitigen) Quantils ${\displaystyle t_{n,\alpha }}$, entsprechend DIN 1319-3, angegeben. Dies erfüllt für die Dichte ${\displaystyle f_{n}}$ der ${\displaystyle t_{n}}$-Verteilung die folgenden Gleichungen:

Einseitig: ${\displaystyle \int _{-\infty }^{t_{n,\alpha }}f_{n}(x)\,\mathrm {d} x=1-\alpha }$

Zweiseitig: ${\displaystyle \int _{-t_{n,\alpha /2}}^{t_{n,\alpha /2}}f_{n}(x)\,\mathrm {d} x=1-\alpha }$

Also findet man beispielsweise mit ${\displaystyle n=4}$ und ${\displaystyle \alpha =0{,}05}$ die ${\displaystyle t}$-Werte von 2,776 (zweiseitig) oder 2,132 (einseitig).

Die Quantilfunktion der ${\displaystyle t}$-Verteilung ${\displaystyle x_{p}}$ ist die Lösung der Gleichung ${\displaystyle p=F(x_{p}|m,\,n)}$ und damit prinzipiell über die Umkehrfunktion zu berechnen. Konkret gilt hier

${\displaystyle x_{p}={\frac {{\sqrt {n}}\left(2I^{-1}(p,{\frac {n}{2}},{\frac {n}{2}})-1\right)}{2{\sqrt {\left(1-I^{-1}(p,{\frac {n}{2}},{\frac {n}{2}})\right)\cdot I^{-1}(p,{\frac {n}{2}},{\frac {n}{2}})}}}}}$

mit ${\displaystyle I^{-1}}$ als Inverse der regularisierten unvollständigen Betafunktion. Dieser Wert ${\displaystyle x_{p}}$ ist in der Quantiltabelle unter den Koordinaten p und n eingetragen.

Für wenige Werte ${\displaystyle n}$ (1,2,4) vereinfacht sich die Quantilfunktion:^[9]

${\displaystyle n=1:x_{p}=\operatorname {tan} (\pi (p-1/2))}$

${\displaystyle n=2:x_{p}=(p-1/2){\sqrt {\frac {2}{p(1-p)}}}}$

${\displaystyle n=4:x_{p}={\sqrt {{\frac {2\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(2{\sqrt {p(1-p)}}\,\right)\right)}{\sqrt {p(1-p)}}}-4}}}$

Tabelle einiger t-Quantile

Weblinks

Commons: Studentsche ${\displaystyle t}$-Verteilung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Webrechner für exakte Werte
• Interaktiver Graph der ${\displaystyle t}$-Verteilung (mit anschaulicher Erklärung)

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} Student: The Probable Error of a Mean. In: Biometrika. Band 6, Nr. 1, 1908, S. 1–25, doi:10.1093/biomet/6.1.1, JSTOR:2331554. 
2. ↑ Josef Bleymüller, Günther Gehlert, Herbert Gülicher: Statistik für Wirtschaftswissenschaftler. 14. Auflage. Vahlen, 2004, ISBN 3-8006-3115-6, S. 16. 
3. ↑ J. Pfanzagl, O. Sheynin: A forerunner of the t-distribution (Studies in the history of probability and statistics XLIV). In: Biometrika. Band 83, Nr. 4, 1996, S. 891–898, doi:10.1093/biomet/83.4.891. 
4. ↑ P. Gorroochurn: Classic Topics on the History of Modern Mathematical Statistics from Laplace to More Recent Times. Wiley, 2016, doi:10.1002/9781119127963. 
5. ↑ N. L. Johnson, B. L. Welch: Applications of the Non-Central t-Distribution. In: Biometrika. Vol. 31, No. 3/4 (Mar. 1940), S. 362–389, JSTOR:2332616 doi:10.1093/biomet/31.3-4.362.
6. ↑ Eric W. Weisstein: Noncentral Student’s t-Distribution. In: MathWorld (englisch).
7. ↑ HermiteH. Bei: functions.wolfram.com.
8. ↑ Frodesen, Skjeggestad, Tofte: Probability and Statistics in Particle Physics. Universitetsforlaget, Bergen/Oslo/Tromsø, S. 141.
9. ↑ W. T. Shaw: Sampling Student’s T distribution – Use of the inverse cumulative distribution function. In: Journal of Computational Finance. 9. Jahrgang, Nr. 4, 2006, S. 37–73, doi:10.21314/JCF.2006.150.