Sporadische Gruppe

Die sporadischen Gruppen sind 26 spezielle Gruppen in der Gruppentheorie. Es handelt sich um die endlichen einfachen Gruppen, die sich nicht in eine der (18) systematischen Familien mit unendlich vielen Mitgliedern (von endlichen einfachen Gruppen) einordnen lassen.

Entdeckungsgeschichte

Die ersten fünf entdeckten sporadischen Gruppen, die sogenannten Mathieugruppen, wurden von Émile Mathieu in den 1860er-Jahren entdeckt. Die Entdeckungsgeschichte aller anderen sporadischen Gruppen setzte erst 1964 ein.

Die früheste Erwähnung des Begriffes „sporadische Gruppe“ dürfte von Burnside 1911, bezugnehmend auf die damals bereits bekannten Mathieugruppen, stammen: These apparently sporadic simple groups would probably repay a closer examination than they have yet received.

Einteilung

Im nebenstehenden Hasse-Diagramm bedeutet eine Linie von A unten nach B oben, dass A Subquotient von B ist.^[1] Da die Relation transitiv ist, sind implizierte Verbindungen nicht im Diagramm eingetragen. Und gibt es im Diagramm eine von A zu B aufsteigende Linie, dann gibt es keine andere sporadische Gruppe zwischen A und B.^[2]

20 der 26 sporadischen Gruppen sind Subquotienten der Monstergruppe M, von Robert Griess Friendly Giant^[3] (deutsch: freundlicher Riese) genannt. Diese 20 Gruppen werden nach Griess unter dem Namen Happy Family (deutsch: Glückliche Familie) zusammengefasst.^[4] Letztere gliedert sich in drei Generationen, wobei die erste Generation (rot) mit dem erweiterten binären Golay-Code und die zweite (grün) mit dem Leech-Gitter bzw. Automorphismengruppen davon in Zusammenhang steht. Zur ersten Generation gehören die fünf Mathieugruppen M₁₁, M₁₂, M₂₂, M₂₃, M₂₄, zur zweiten Generation die Conwaygruppen Co₁, Co₂, Co₃ und die Gruppen J₂, HS, McL, Suz. Die dritte Generation (blau) ist nahe verwandt mit M und enthält die übrigen Gruppen He, Fi₂₂, Fi₂₃, Fi₂₄, HN, Th, B und M der Happy Family.

Die sechs sporadischen Gruppen, die nicht Subquotienten von M sind, sind die Jankogruppen J₁, J₃ und J₄, die Rudvalisgruppe Ru, die Lyonsgruppe Ly und die O’Nan-Gruppe ON. Sie werden bei Griess Parias (engl. pariah) genannt (in der untenstehenden Tabelle als Generation P).

Teilweise wird auch die nach dem belgisch-französischen Mathematiker Jacques Tits benannte Tits-Gruppe T = ²F₄(2)′ der Ordnung 17.971.200 als eine sporadische Gruppe angesehen, weil sie nicht eine Gruppe vom Lie-Typ sei. Allerdings ist das Definiens für »nicht-sporadisch« bei endlichen einfachen Gruppen die »Zugehörigkeit zu einer unendlichen systematischen Familie« — was nicht unmittelbar mit der Eigenschaft »vom Lie-Typ« etwas zu tun hat, denn es gibt andere unendliche Familien endlicher einfacher Gruppen, z. B. die Gruppen von Primzahlordnung oder die alternierenden Gruppen, die auch nicht vom Lie-Typ sind. Mit ihrer Zugehörigkeit zur unendlichen Familie der abgeleiteten Ree-Gruppen ²F₄(2²ⁿ⁺¹)′, deren Mitglieder ²F₄(2²ⁿ⁺¹) für ${\displaystyle n\geq 1}$ mit ihren Ableitungen übereinstimmen, ist sie im strengen Sinn keine sporadische Gruppe.^[5] Sie ist Subquotient von Fi₂₂ und Ru und würde demnach, wenn eingeordnet, zur dritten Generation der sporadischen Gruppen gehören.

Tabelle der 26 sporadischen Gruppen

Standardreihenfolge, erste Symbole, Entdeckungsjahr aus Hiss S. 172.

Literatur

• Michael Aschbacher: Sporadic Groups, Cambridge University Press 1994
• John McKay: Finite Groups – Coming of Age. American Mathematical Society, 1985, ISBN 978-0-8218-5047-3. 
• Robert Griess: The Friendly Giant. In: Inventiones Mathematicae. Band 69, 1982, S. 1–102, doi:10.1007/BF01389186 (Online bei digizeitschriften.de). 
• Robert Griess: Twelve Sporadic Groups. Springer, 2002, ISBN 978-3-540-62778-4, doi:10.1007/978-3-662-03516-0. 
• Gerhard Hiss: Die sporadischen Gruppen. In: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Band 105, Nr. 4, 2003, S. 169–194 (Online im DMV Jahresberichte-Archiv. [PDF]). 

Einzelnachweise

1. ↑ zusammengestellt hauptsächlich aus Griess S. 94
2. ↑ Es gibt jedoch sehr viele andere (nicht-sporadische) einfache Subquotienten einer sporadischen Gruppe, am unteren Ende auf jeden Fall die Gruppen von Primzahlordnung, aber auch alternierende Gruppen einer Ordnung ≥ 5 und einfache Gruppen vom Lie-Typ wie die Steinberg-Gruppe ²E₆(2²) (Beispiele in Wilsons Atlas).
   Umgekehrt ist nach dem Satz von Cayley jede endliche Gruppe Untergruppe einer symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ genügend hohen Grades ${\displaystyle n,}$ die ihrerseits unter Anhängen der Transposition ${\displaystyle (n+1,n+2)}$ an alle ungeraden Permutationen in die alternierende Gruppe ${\displaystyle A_{n+2}}$ eingebettet werden kann. Damit ist jede sporadische Gruppe auch Subquotient einer (einfachen) alternierenden Gruppe.
3. ↑ F₁ in Griess
4. ↑ s. Griess
5. ↑ Bei Hiss und Eric W. Weisstein „Sporadic Group“ From MathWorld--A Wolfram Web Resource wird die Tits-Gruppe nicht unter den 26 aufgeführt.

Weblinks

• Die sporadischen Gruppen (Erzeuger, Untergruppen, Konjugiertenklassen...) im Atlas of Finite Group Representations (englisch)
• Robert Wilson’s Atlas of Finite Group Representations: Sporadic groups (englisch)