Skorochod-Darstellung

Die Skorochod-Darstellung^[1], auch Skorochod-Kopplung^[2] genannt oder als Darstellungssatz von Skorochod^[3] bezeichnet, ist ein Aussage der Stochastik über die Konvergenz in Verteilung beziehungsweise die schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen und ihre Verknüpfung zur fast sicheren Konvergenz. Sie ist nach Anatoli Skorochod benannt, ist aber aufgrund unterschiedlicher Transkriptionen seines Namens in verschiedene Sprachen auch in den Schreibweisen Skorokhod oder Skorohod in der Literatur zu finden. Der Beweis des Darstellungssatzes ist ein klassisches Beispiel für ein Kopplungsargument.^[4]

Aussage

Gegeben seien Zufallsvariablen ${\displaystyle X,X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$ mit Werten in einem polnischen Raum ${\displaystyle (E,{\mathcal {B}}(E))}$, versehen mit der borelschen σ-Algebra. Typischer Fall ist beispielsweise $E=\mathbb {R}$. Des Weiteren gelte

${\displaystyle X_{n}\mathrel {\stackrel {\mathcal {D}}{\rightarrow }} X}$,

die Zufallsvariablen konvergieren also in Verteilung.

Dann gilt: Es existieren ein Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ und Zufallsvariablen

${\displaystyle Y,Y_{n}\colon (\Omega ,{\mathcal {A}},P)\to (E,{\mathcal {B}}(E))}$,

so dass

1. die Verteilungen übereinstimmen: ${\displaystyle X_{n}\mathrel {\stackrel {\mathcal {D}}{=}} Y_{n}}$ und ${\displaystyle Y\mathrel {\stackrel {\mathcal {D}}{=}} X}$, und
2. die Folge ${\displaystyle (Y_{n})_{n\geq 1}}$ fast sicher gegen $Y$ konvergiert.

Varianten

Der Satz wird in unterschiedlichen Varianten formuliert: teils nur für reelle Zufallsvariablen, wobei die Konvergenz in Verteilung dann über die Verteilungsfunktionen definiert wird, teils wird die Konvergenz in Verteilung auch als schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen im Bildraum formalisiert.

Weblinks

• D. Nualart: Skorokhod theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 

Literatur

• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972. 
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3. 
• Geoffrey Grimmett, David Stirzaker: Probability and Random Processes. 3. Auflage. Oxford University Press, Oxford New York 2001. 
• Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8. 

Einzelnachweise

1. ↑ Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 176.
2. ↑ Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 392.
3. ↑ Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 289.
4. ↑ Grimmet, Stirzaker: Probability and Random Processes 2001, S. 314