Schleife (Topologie)

Eine freie Schleife in der Ebene.
Eine Schleife auf dem Torus mit Basispunkt .

In der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, werden geschlossene Kurven auch als Schleifen bezeichnet.

Freie Schleifen und Schleifen

Eine freie Schleife in einem topologischen Raum ist eine stetige Abbildung vom Einheitsintervall auf , wobei gilt . Das bedeutet, dass der Anfangspunkt gleich dem Endpunkt ist. Eine freie Schleife kann auch als stetige Abbildung des Einheitskreises nach gesehen werden, da als Quotient von unter der Identifizierung von 0 mit 1 gesehen werden kann.

Wenn im Raum ein Basispunkt festgelegt ist, dann bezeichnet man als Schleife eine stetige Abbildung vom Einheitsintervall auf , wobei gilt . Das bedeutet, dass Anfangspunkt und Endpunkt gleich dem festen Basispunkt sind. Eine Schleife kann auch als stetige Abbildung des Einheitskreises nach gesehen werden, wobei ein fest gewählter Basispunkt von auf den fest gewählten Basispunkt abgebildet wird.[1]

Homotopieklassen

Man bezeichnet zwei freie Schleifen als (frei) homotop, wenn es eine Homotopie zwischen den beiden Abbildungen gibt.

Zwei Schleifen werden als homotop bezeichnet, wenn es eine freie Homotopie gibt, die zusätzlich die Bedingung für alle erfüllt. Die Mengen der Homotopieklassen von Schleifen bildet das wichtige Konzept der Fundamentalgruppe .

Die Menge aller Schleifen in einem topologischen Raum wird Schleifenraum genannt und mit bezeichnet. Die Menge der freien Schleifen wird als freier Schleifenraum bezeichnet.

Einzelnachweise

  1. Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung, Bibliographisches Institut Mannheim (1978), ISBN 3-411-00121-6, Absatz 7.1: Wege und Homotopie von Wegen

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