Satz von Vitali-Hahn-Saks

Der Satz von Vitali-Hahn-Saks ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie. Er geht auf Giuseppe Vitali^[1], Hans Hahn^[2] und Stanisław Saks^[3] zurück und besagt im Wesentlichen, dass der mengenweise Grenzwert einer Folge von signierten Maßen wieder ein solches ist.

Erste Formulierung des Satzes

Es sei ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$ ein Maßraum und darauf ${\displaystyle (\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge von signierten Maßen, so dass ${\displaystyle (\mu _{n}(E))_{n\in \mathbb {N} }}$ für jede messbare Menge ${\displaystyle E\in \Sigma }$ konvergiert. Weiter sei ${\displaystyle \lambda }$ ein endliches Maß auf ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$, so dass jedes ${\displaystyle \mu _{n}}$ absolut stetig gegen ${\displaystyle \lambda }$ ist. Dann definiert die Formel ${\displaystyle \mu (E):=\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(E)}$ ein signiertes Maß auf ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$, das ebenfalls absolut stetig gegen ${\displaystyle \lambda }$ ist.^[4][5]

Der besondere Inhalt dieses Satzes besteht darin, dass sich die σ-Additivität der ${\displaystyle \mu _{n}}$ auf ${\displaystyle \mu }$ überträgt und dass die Absolutstetigkeit gegen ${\displaystyle \lambda }$ erhalten bleibt. Von der Voraussetzung über die Existenz von ${\displaystyle \lambda }$ kann man sich befreien, denn für jede Folge ${\displaystyle (\mu _{n}(E))_{n\in \mathbb {N} }}$ ist durch ${\displaystyle \textstyle \lambda (E):=\sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}(1+\|\mu _{n}\|)^{-1}|\mu _{n}|(E)}$ ein Maß definiert, gegen das jedes ${\displaystyle \mu _{n}}$ absolutstetig ist. Dabei sind ${\displaystyle |\mu _{n}|}$ und ${\displaystyle \|\mu _{n}\|}$ die Variation bzw. Totalvariationsnorm von ${\displaystyle \mu _{n}}$. Daher kann man obigen Satz auch ohne die Erwähnung der Absolutstetigkeit formulieren und erhält den folgenden auch als Konvergenzsatz von Nikodým bekannten Satz:

Zweite Formulierung des Satzes

Es sei ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$ ein Maßraum und darauf ${\displaystyle (\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge von endlichen signierten Maßen, so dass ${\displaystyle (\mu _{n}(E))_{n\in \mathbb {N} }}$ für jede messbare Menge ${\displaystyle E\in \Sigma }$ konvergiert und endlich ist. Dann definiert die Formel ${\displaystyle \mu (E):=\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(E)}$ ein signiertes Maß auf ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$.^[6]

Diese Version ist schwächer, da sie nicht mehr die Erhaltung der Absolutstetigkeit gegen ein weiteres Maß enthält. Man beachte, dass die Endlichkeit der ${\displaystyle (\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine notwendige Bedingung ist, wie folgendes Beispiel verdeutlicht. Sei ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }$ und ${\displaystyle \Sigma ={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$, wobei ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ die Borelsche sigma-algebra auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ bezeichnet. Für ${\displaystyle E\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$, definiere ${\displaystyle \mu _{n}(E):=\infty }$ falls ${\displaystyle E\cap [n,\infty )\not =\emptyset }$, andernfalls definiere ${\displaystyle \mu (E):=0}$. Dann gilt ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{n}(E)=\infty }$ falls ${\displaystyle E}$ nicht nach oben beschränkt ist. Andernfalls gilt ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{n}(E)=0}$. ${\displaystyle \mu (E):=\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(E)}$ ist kein Maß, da sowohl ${\displaystyle \mu ([1,\infty ))=\infty }$ aber auch ${\displaystyle \mu ([1,\infty ))=\sum _{i=1}^{\infty }\mu ([i,i+1))=0}$ gelten müsste.

Anwendungen

Der Raum der signierten Maße auf einem Maßraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$ ist ein Vektorraum ${\displaystyle M(\Omega ,\Sigma )}$, der mit der Totalvariation als Norm ein Banachraum wird. Eine wichtige Anwendung des Satzes von Vitali-Hahn-Saks besteht darin, die relativ schwach kompakten Mengen in ${\displaystyle M(\Omega ,\Sigma )}$ als genau diejenigen beschränkten Mengen zu charakterisieren, die gleichmäßig absolutstetig gegen ein endliches Maß sind.^[7] Als weitere Anwendung ergibt sich, dass ${\displaystyle M(\Omega ,\Sigma )}$ schwach folgenvollständig ist, das heißt, dass jede Cauchy-Folge des in der schwachen Topologie uniformen Raums ${\displaystyle M(\Omega ,\Sigma )}$ schwach konvergiert.^[8]

Einzelnachweise

1. ↑ G. Vitali: Sull’integrazione per serie, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (1907), Band 23, Seiten 137–155
2. ↑ H. Hahn: Über Folgen linearer Operationen, Monatshefte für Mathematik und Physik (1922), Band 32, Seiten 3–88
3. ↑ S. Saks: Addition to the Note on Some Functionals, Transactions of the American Mathematical Society (1933), Band 35, Seiten 965–970
4. ↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Anhang C, Satz C.3
5. ↑ J. L. Doob: Measure Theory, Kapitel IX, Absatz 10: Vitali-Hahn-Saks-theorem
6. ↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Anhang C, Satz C.4
7. ↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Anhang C, Satz C.7
8. ↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Anhang C, Satz C.5