Satz von Synge

Der Satz von Synge ist ein nach John Lighton Synge benannter Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie. Er besagt, dass jede gerade-dimensionale, orientierbare Mannigfaltigkeit positiver Schnittkrümmung einfach zusammenhängend sein muss.

Satz von Synge

• Für jede orientierbare Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ gerader Dimension ${\displaystyle \dim(M)=2n}$, die eine Riemannsche Metrik positiver Schnittkrümmung ${\displaystyle K\geq \delta >0}$ für eine Konstante ${\displaystyle \delta }$ trägt, gilt für die Fundamentalgruppe

${\displaystyle \pi _{1}M=0}$.

• Für jede nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ gerader Dimension, die eine Riemannsche Metrik positiver Schnittkrümmung ${\displaystyle K\geq \delta >0}$ für eine Konstante ${\displaystyle \delta }$ trägt, ist

${\displaystyle \pi _{1}M=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$.

Die Bedingung, dass ${\displaystyle K\geq \delta >0}$ für eine Konstante ${\displaystyle \delta }$ gilt, ist insbesondere immer dann erfüllt, wenn ${\displaystyle M}$ kompakt und die Schnittkrümmung ${\displaystyle K>0}$ ist.

Lemma von Synge

Der Beweis des Satzes von Synge folgt aus dem Lemma von Synge. Dieses besagt folgendes:

Sei ${\displaystyle (M,g)}$ eine orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit gerader Dimension mit positiver Schnittkrümmung ${\displaystyle K>0}$. Sei ${\displaystyle c\colon \left[0,L\right]\to M}$ eine glatte geschlossene Geodätische der Länge ${\displaystyle L(c)=L>0}$. Dann gibt es eine Variation ${\displaystyle V(t,\tau )=c_{\tau }(t)}$ von ${\displaystyle c}$, so dass alle Nachbarkurven ${\displaystyle c_{\tau },\tau \geq 0}$ glatt, geschlossen und kürzer als ${\displaystyle L}$ sind.

Gruppentheoretische Formulierung

Der Satz von Synge ist äquivalent zum Satz von Synge-Weinstein.

Ungerade Dimensionen

Für Mannigfaltigkeiten ungerader Dimensionen gilt der Satz von Synge nicht. Zwar hat nach dem Satz von Bonnet-Myers jede positiv gekrümmte Mannigfaltigkeit eine endliche Fundamentalgruppe, jedoch gibt es ungerade-dimensionale, positiv gekrümmte Mannigfaltigkeiten mit beliebiger zyklischer Fundamentalgruppe (Linsenräume) oder beispielsweise die Poincaré-Homologiesphäre mit einer komplizierteren Fundamentalgruppe der Ordnung 120.

Literatur

• do Carmo, Manfredo Perdigão: Riemannian geometry. Translated from the second Portuguese edition by Francis Flaherty. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992, ISBN 0-8176-3490-8.

Weblinks

• Dirk Ferus: Geometrie (Kapitel 15)
• Dorothee Schüth, Alessandro Masacci: Riemannsche Geometrie (Kapitel 15)