Satz von Poincaré-Volterra

Der Satz von Poincaré-Volterra ist ein Lehrsatz der Topologie, einem der Teilgebiete der Mathematik. Er wird den beiden Mathematikern Henri Poincaré und Vito Volterra zugerechnet, welche ihn in ersten Versionen in den 1880er Jahren formulierten und bewiesen. Der Satz behandelt die Frage der Rückübertragung topologischer Eigenschaften durch offene stetige Abbildungen und formuliert dafür eine hinreichende Bedingung.

Zu dem Satz von Poincaré-Volterra gibt es eine Reihe weiterer Versionen und Abwandlungen. Über diese und über die Historie des Satzes gibt die Abhandlung von Peter Ullrich Auskunft.^[1]

Formulierung des Satzes

Der Satz lautet in moderner Formulierung wie folgt:^[2]

Gegeben seien zwei Hausdorffräume   ${\displaystyle X}$   und   ${\displaystyle Y}$  .

  ${\displaystyle X}$   sei zusammenhängend und   ${\displaystyle Y}$   sei lokal kompakt und lokal zusammenhängend und besitze eine abzählbare Basis.

Ferner sei   ${\displaystyle {\phi }\colon \,X\to Y}$   eine offene stetige Abbildung, welche der folgenden Zusatzbedingung genüge:

Jedes Element   ${\displaystyle x\in X}$   besitze eine offene Umgebung   ${\displaystyle U_{x}\subseteq X}$   derart, dass die Einschränkung   ${\displaystyle {\phi }{\upharpoonright }U_{x}\colon \,U_{x}\to {\phi }(U_{x})}$  hinsichtlich der beiderseitigen Unterraumtopologien einen Homöomorphismus darstelle.^[3]

Dann gilt:

${\displaystyle X}$   ist ebenfalls lokal kompakt, lokal zusammenhängend und versehen mit einer abzählbaren Basis.

Verwandtes Resultat

Die Theorie der riemannschen Flächen kennt ein dem obigen verwandtes Resultat, welches in der zugehörigen Fachliteratur ebenfalls als Satz von Poincaré-Volterra bezeichnet wird und welches sich als wesentliches Hilfsmittel zum Beweis des Satzes von Radó über riemannsche Flächen erwiesen hat.^[4][5]

Dieses besagt folgendes:^[6]

Gegeben seien eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit   ${\displaystyle X}$   und ein Hausdorffraum   ${\displaystyle Y}$  , welcher eine abzählbare Basis besitze.

Weiter sei   ${\displaystyle {\phi }\colon \,X\to Y}$   eine stetige Abbildung, welche der folgenden Zusatzbedingung genüge:

Für jedes Element   ${\displaystyle y\in Y}$   sei die über dem Element liegende Faser   ${\displaystyle {\phi }^{-1}(y)}$   ein diskreter Unterraum von   ${\displaystyle X}$  .^[7]

Dann gilt:

Auch   ${\displaystyle X}$   hat eine abzählbare Basis.

Literatur

• Krzysztof Maurin: The Riemann Legacy: Riemannian Ideas in Mathematics and Physics (= Mathematics and its Applications. Band 417). Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (u. a.) 1997, ISBN 0-7923-4636-X (MR1472025). 
• Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277). 
• Nicolas Bourbaki: General Topology (= Elements of Mathematics. Part I). Addison-Wesley Publishing (u. a.), Reading, Massachusetts (u. a.) 1966 (MR0205210). 
• Otto Forster: Riemannsche Flächen (= Heidelberger Taschenbücher. Band 184). Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1997, ISBN 3-540-08034-1 (MR1472025). 
• Peter Ullrich: The Poincaré-Volterra Theorem: From Hyperelliptic Integrals to Manifolds with Countable Topology. In: Arch. Hist. Exact Sci. Band 54, 2000, S. 375–402, doi:10.1007/PL00021243 (MR1741400). 
• Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 77). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1965. 

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. ↑ Ullrich: The Poincaré-Volterra Theorem: From Hyperelliptic Integrals to Manifolds with Countable Topology. In: Arch. Hist. Exact Sci. Band 54, 2000, S. 375 ff. 
2. ↑ Bourbaki: S. 114–116.
3. ↑ Eine stetige Abbildung dieser Art nennt man in der Topologie auch lokal topologisch; vgl. Schubert: S. 216.
4. ↑ Maurin: S. 453–454.
5. ↑ Behnke-Sommer: S. 453–454.
6. ↑ Forster: S. 165–166.
7. ↑ Eine dieser Zusatzbedingung genügende Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen nennt man auch eine diskrete Abbildung; vgl. Forster: S. 18. In der Topologie treten diskrete Abbildungen vor allem im Zusammenhang mit Überlagerungen auf. Denn hier ist jede Überlagerungsabbildung diskret; vgl. Schubert: S. 216.