Satz von Liebmann

Der Satz von Liebmann ist ein klassisches Resultat der Differentialgeometrie, welches nach dem deutschen Mathematiker Heinrich Liebmann benannt ist. Er behandelt eine Kennzeichnung der Kugeloberflächen im dreidimensionalen euklidischen Raum.

Der Satz

Erste Formulierung

Der Satz von Liebmann besagt in moderner Formulierung folgendes:^[1][2]

Sei ${\displaystyle F\subset {\mathbb {E} }^{3}}$ eine zusammenhängende und kompakte Fläche der Klasse ${\displaystyle C^{4}}$ im dreidimensionalen euklidischen Raum und sei dabei die gaußsche Krümmung von ${\displaystyle F}$ eine Konstante ${\displaystyle K}$.

Dann ist ${\displaystyle K}$ eine positive Zahl der Form ${\displaystyle K=r^{2}}$ für eine reelle Zahl ${\displaystyle r>0}$ und ${\displaystyle F}$ fällt mit der Oberfläche einer dreidimensionalen Vollkugel vom Radius ${\displaystyle R={\tfrac {1}{r}}}$ zusammen, ist also eine Sphäre der Form ${\displaystyle F=S_{R}^{2}(p)}$ für ein ${\displaystyle p\in {\mathbb {E} }^{3}}$.

Zweite Formulierung

Im dreidimensionalen Raum ist eine Sphäre vom Radius ${\displaystyle R}$ stets eine zusammenhängende und kompakte ${\displaystyle C^{4}}$-Fläche und hat dabei stets die konstante gaußsche Krümmung ${\displaystyle K={\tfrac {1}{R^{2}}}}$.^[3] Daher lässt sich der Satz von Liebmann auch wie folgt formulieren:^[4]

Im dreidimensionalen Raum sind einzig und allein die Sphären zusammenhängende und kompakte ${\displaystyle C^{4}}$-Flächen mit konstanter gaußscher Krümmung.

Dritte Formulierung

Hinsichtlich ihrer topologischen Eigenschaften ist eine Fläche ${\displaystyle F\subset {\mathbb {E} }^{3}}$ eine 2-Mannigfaltigkeit. Da in der Topologie eine zusammenhängende und kompakte 2-Mannigfaltigkeit auch eine geschlossene Fläche genannt wird,^[5] lässt sich der Satz von Liebmann sehr verkürzt auch in der folgenden Weise angeben:^[6]

Im dreidimensionalen Raum sind die Sphären die einzigen geschlossenen ${\displaystyle C^{4}}$-Flächen mit konstanter gaußscher Krümmung.

Zusammenhang mit anderen Resultaten

Der zweite Satz von Liebmann

Im Jahre 1900 hat Heinrich Liebmann einen weiteren, dem obigen eng verwandten Satz vorgelegt. Dieser zweite liebmannsche Satz lautet in moderner Formulierung wie folgt:^[7]

Sei ${\displaystyle F\subset {\mathbb {E} }^{3}}$ eine zusammenhängende und kompakte Fläche der Klasse ${\displaystyle C^{4}}$ im dreidimensionalen euklidischen Raum und sei dabei die gaußsche Krümmung von ${\displaystyle F}$ durchgängig positiv und die mittlere Krümmung von ${\displaystyle F}$ eine Konstante ${\displaystyle H}$.

Dann fällt ${\displaystyle F}$ mit der Oberfläche einer Kugel vom Radius ${\displaystyle R={\frac {1}{|H|}}}$ zusammen.

Mit anderen Worten und kürzer ausgedrückt:^[8]

Im dreidimensionalen Raum sind die Sphären die einzigen geschlossenen ${\displaystyle C^{4}}$-Flächen mit durchgängig positiver gaußscher Krümmung und mit konstanter mittlerer Krümmung.

Der Satz von Cohn-Vossen und Herglotz

Der Satz von Liebmann lässt sich in Zusammenhang bringen mit der Frage, wie eine zusammenhängende kompakte Fläche des dreidimensionalen euklidischen Raums beschaffen sein muss, um isometrisch – im Sinne der Isometrie riemannscher Mannigfaltigkeiten^[9] – zur Einheitssphäre oder zu einer allgemeinen Sphäre zu sein. Hierüber gibt der Satz von Cohn-Vossen und Herglotz Auskunft, welcher auf Stefan Cohn-Vossen und Gustav Herglotz zurückgeht und ebenfalls ein klassisches Resultat der Differentialgeometrie darstellt:^[10][11]

Stehen im dreidimensionalen euklidischen Raum ${\displaystyle {\mathbb {E} }^{3}}$ zwei geschlossene Flächen ${\displaystyle F,F^{*}\subset {\mathbb {E} }^{3}}$ der Klasse ${\displaystyle C^{\infty }}$ mit jeweils positiver gaußscher Krümmung zueinander in Isometrie, so existiert eine euklidische Bewegung ${\displaystyle \phi }$ mit ${\displaystyle \phi (F)=F^{*}}$, welche also ${\displaystyle F}$ in ${\displaystyle F^{*}}$ überführt.

Diesen Satz bezeichnet der österreichische Geometer Karl Strubecker in seiner Differentialgeometrie auch als Identitätssatz für Eiflächen und nennt ihn einen für die metrische Theorie der Eiflächen grundlegenden Satz.^[12] Dabei versteht man in der Differentialgeometrie unter einer Eifläche jede geschlossene Fläche des dreidimensionalen euklidischen Raums, welche mindestens von der Klasse ${\displaystyle C^{3}}$ ist und durchweg positive gaußsche Krümmung, also ${\displaystyle K>0}$, hat.^[13] Der Satz von Cohn-Vossen und Herglotz lässt sich daher auch folgendermaßen formulieren:^[14]

Im dreidimensionalen euklidischen Raum sind zwei isometrische Eiflächen der Klasse ${\displaystyle C^{\infty }}$ stets kongruent.

Der Satz von Hilbert

Der ersten Teilaussage des Satzes von Liebmann steht in enger Verbindung zu einem allgemeinen Resultat, welches von David Hilbert im Jahre 1900 vorgelegt wurde. Es stellt das zentrale Ergebnis von Anhang V (Über Flächen von konstanter Gaußscher Krümmung) seiner Grundlagen der Geometrie dar und lässt sich angeben wie folgt:^[15][16]

Im dreidimensionalen euklidischen Raum existiert keine ${\displaystyle C^{\infty }}$-Fläche ${\displaystyle F\subset {\mathbb {E} }^{3}}$ von konstanter gaußscher Krümmung ${\displaystyle K<0}$.

Hilbert wurde zu diesem Resultat geführt durch die Fragestellung, ob die von Eugenio Beltrami gelieferte Konstruktion einer nichteuklidischen Ebene (Pseudosphäre) als Ganzes in den dreidimensionalen Raum eingebettet denkbar sei. Er gelangt zu einer Verneinung dieser Frage und schreibt dazu explizit:^[17][18]

„, d. h. wir erkennen, dass es eine singularitätenfreie und überall regulär analytische Fläche von constanter negativer Krümmung nicht giebt. Insbesondere ist daher auch die zu Anfang aufgeworfene Frage zu verneinen, ob auf die BELTRAMIsche Weise die GANZE LOBATSCHEFSKIJsche Ebene durch eine regulär analytische Fläche im Raume sich verwirklichen lässt.“

Anmerkungen

1. In der Frage, von welcher Differenzierbarkeitsklasse die Flächen zu sein haben, damit die obigen Sätze gültig sind, finden sich in der Literatur unterschiedliche Angaben. Setzt man stets ${\displaystyle C^{\infty }}$-Flächen voraus, so sind die Sätze durchgängig gültig. Vielfach bleiben die Aussagen der Sätze auch noch unter abgeschwächten Bedingungen beweisbar.^[19] So wurde etwa von dem russischen Mathematiker A. W. Pogorelow im Jahre 1952 gezeigt, dass die Aussage des Satzes von Cohn-Vossen und Herglotz auch noch für eine erheblich allgemeinere Klasse von Eiflächen beschränkter gaußscher Krümmung Gültigkeit hat.^[20]
2. Der Begriff der Eifläche geht auf Wilhelm Blaschke zurück. Einem bedeutenden Satz von Jacques Hadamard zufolge ist eine Eifläche im ${\displaystyle {\mathbb {E} }^{3}}$ stets orientierbar, zur 2-Sphäre   ${\displaystyle S^{2}}$   diffeomorph und streng konvex, wobei strenge Konvexität so verstanden wird, dass die Eifläche an jedem ihrer Punkte vollständig auf einer Seite der diesem Punkte zugehörigen Tangentialebene gelegen ist, also stets vollständig innerhalb eines der beiden abgeschlossenen Halbräume liegt, welche durch die Tangentialebene gebildet werden.^[21][22]

Literatur

• E. Kreyszig: Differentialgeometrie. Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten (= Mathematik und ihre Anwendungen in Physik und Technik: Reihe A. Band 25). 2., neu bearbeitete Auflage. Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig 1968 (MR0229174). 
• M. Berger, B. Gostiaux: Differential Geometry: Manifolds, Curves and Surfaces (= Graduate Texts in Mathematics. Band 115). Springer Verlag, New York (u. a.) 1988, ISBN 0-387-96626-9 (MR0917479). 
• Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten (= STUDIUM). 5., aktualisierte Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-1233-9. 
• Karl Strubecker: Differentialgeometrie III. Theorie der Flächenkrümmung (= Sammlung Göschen. 1180/1180A). Walter de Gruyter Verlag, Berlin 1959. 
• H. Liebmann: Eine neue Eigenschaft der Kugel. In: Nachr. Kgl. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-Phys. Klasse. Band 44, 1899, S. 44–55. 
• Wilhelm Klingenberg: Eine Vorlesung über Differentialgeometrie (= Heidelberger Taschenbücher. Band 107). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1973, ISBN 3-540-06253-X (MR0415512). 
• David Hilbert: Ueber Flächen von constanter Gaussscher Krümmung. In: Trans. Amer. Math. Soc. Band 2, 1901, S. 87–99 (ams.org [PDF]).  MR1500557
• Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277). 
• Rolf Walter: Differentialgeometrie. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim (u. a.) 1989, ISBN 3-411-03216-2. 
• David Hilbert: Grundlagen der Geometrie. Mit Supplementen von Dr. Paul Bernays (= Teubner-Studienbücher: Mathematik). 11. Auflage. Teubner Verlag, Stuttgart 1972, ISBN 3-519-12020-8 (MR1109913). 
• Detlef Laugwitz: Differentialgeometrie (= Mathematische Leitfäden). 2. durchgesehene Auflage. Teubner Verlag, Stuttgart 1968 (MR0243432). 
• Heinrich Liebmann: Ueber die Verbiegung der geschlossenen Flächen positiver Krümmung. In: Math. Ann. Band 53, 1900, S. 81–112, doi:10.1007/BF01456030.  MR1511083

Einzelnachweise und Fußnoten

1. ↑ Klingenberg, S. 106.
2. ↑ Kühnel, S. 133.
3. ↑ Berger-Gostiaux, S. 382.
4. ↑ Kreyszig, S. 243.
5. ↑ Die hier betrachteten Mannigfaltigkeiten sind unberandet, also keine Mannigfaltigkeiten mit Rand und damit lokaleuklidisch; d. h.: Jeder Punkt darin besitzt eine offene Umgebung, die zu einem euklidischen Raum homöomorph ist, und damit in der Relativtopologie ein Umgebungssystem mit allen topologischen Eigenschaften, die auch für die Punkte des euklidischen Raums gegeben sind. Es besitzt also jeder Flächenpunkt innerhalb der hier betrachteten Flächen eine offene Umgebung, die zum ${\displaystyle {\mathbb {E} }^{2}}$ homöomorph ist. Siehe Schubert, S. 210. / Kühnel, S. 143.
6. ↑ Laugwitz, S. 162.
7. ↑ Kühnel, S. 134.
8. ↑ Kreyszig, S. 243.
9. ↑ Eine Isometrie riemannscher Mannigfaltigkeiten lässt also die gesamte riemannsche Struktur und (in diesem Sinne) die gesamte innere Geometrie der beteiligten Mannigfaltigkeiten invariant; vgl. Walter, S. 123,156.
10. ↑ Klingenberg, S. 106.
11. ↑ Berger-Gostiaux, S. 427.
12. ↑ Strubecker, S. 202.
13. ↑ Strubecker, S. 202. / Klingenberg, S. 100.
14. ↑ Walter, S. 195.
15. ↑ Hilbert, S. 231 ff.
16. ↑ Hilbert hat diese Arbeit auch in den Transactions of the American Mathematical Society von 1901 veröffentlicht; vgl. Hilbert: Ueber Flächen von constanter Gaussscher Krümmung. In: Trans. Amer. Math. Soc. 1901, S. 87 ff. ; vgl. auch Berger-Gostiaux, S. 428.
17. ↑ Hilbert, S. 237.
18. ↑ Hilbert: Ueber Flächen von constanter Gaussscher Krümmung. In: Trans. Amer. Math. Soc. 1901, S. 97. 
19. ↑ Siehe Walter, S. 310. Hier schreibt der Autor im Anhang II seines Buches, in welchem die Eigenschaften differenzierbarer Mannigfaltigkeiten zusammengefasst sind: Der Einheitlichkeit halber wird hier nur der ${\displaystyle C^{\infty }}$-Fall behandelt, jedoch ist alles so gefasst, dass es auch unter schwächeren Differenzierbarkeitsannahmen (meistens ${\displaystyle C^{1}}$ oder ${\displaystyle C^{2}}$) gültig bleibt.
20. ↑ Strubecker, S. 202–203.
21. ↑ Klingenberg, S. 100–102.
22. ↑ Vgl. auch Abschnitt „Verwandte Resultate“ im Artikel „Satz von Tietze (Konvexgeometrie)“ .