Satz von Hopf

Der Satz von Hopf ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie. Er geht auf eine wichtige Arbeit des Mathematikers Heinz Hopf zurück, welche im Band 96 der Mathematischen Annalen im Jahre 1927 erschien^[1]. Der Satz wird stellenweise auch als Satz von Brouwer-Hopf^[2] bezeichnet, weil Heinz Hopf seinen Satz in Erweiterung eines früheren Resultats von Luitzen Egbertus Jan Brouwer erzielt hat.

Im Rahmen der Thom-Pontryagin-Theorie wird gezeigt, dass der Satz von Hopf als Spezialfall aus einem übergeordneten Theorem folgt.^[3]

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich in moderner Formulierung etwa folgendermaßen angeben:^[4]

Für jede zusammenhängende, orientierte, geschlossene, differenzierbare n-Mannigfaltigkeit   ${\displaystyle M}$   (  ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$  ) ist der Abbildungsgrad eine Homotopieinvariante von Abbildungen in die n-Sphäre derart, dass je zwei stetige Abbildungen   ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$  , welche die Mannigfaltigkeit   ${\displaystyle M}$   in die n-Sphäre   ${\displaystyle S^{n}\subset {\mathbb {R} }^{n+1}}$   abbilden, genau dann homotop sind, wenn sie denselben Abbildungsgrad   ${\displaystyle D(f_{1})=D(f_{2})}$   haben.

Weil sich jede ganze Zahl   ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {Z} }$   als Abbildungsgrad einer geeignet gewählten stetigen Abbildung der gegebenen Mannigfaltigkeit   ${\displaystyle M}$   in die n-Sphäre realisieren lässt, gilt dann sogar:

Ist   ${\displaystyle [M,S^{n}]}$   das Mengensystem der Homotopieklassen der stetigen Abbildungen   ${\displaystyle f\colon \,M\to S^{n}}$  , so vermittelt die Abbildungsgradfunktion   ${\displaystyle D}$   eine Bijektion   ${\displaystyle {\overline {D}}\colon \,[M,S^{n}]\to \mathbb {Z} }$  , durch die zu jedem   ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {Z} }$   genau eine Homotopieklasse   ${\displaystyle [f]\in [M,S^{n}]}$   mit   ${\displaystyle {\overline {D}}([f])=D(f)=\gamma }$   gehört.

Der allgemeine Satz für die Dimension 2

Der Satz für die n = 2 ist im Wesentlichen dasjenige Resultat, welches Brouwer in seiner Arbeit im Band 71 der Mathematischen Annalen im Jahre 1912 vorgestellt hat.

Der spezielle Satz für die Sphäre

Die Hauptanwendung findet der Satz von Hopf in dem Fall   ${\displaystyle M=S^{n}}$:^[5][6]

Zwei stetige Abbildungen der n-Sphäre in sich selbst sind genau dann homotop, wenn ihre Abbildungsgrade übereinstimmen.

Dabei zeigt sich, dass die obige durch den Abbildungsgrad vermittelte Bijektion sogar einen Gruppenisomorphismus ${\displaystyle deg:(\pi _{n}S^{n},*)\simeq (\mathbb {Z} ,+)}$ der n-ten Homotopiegruppe der n-Sphäre auf die Gruppe der ganzen Zahlen vermittelt.^[7]

Weiterhin ergibt sich i. V. m. der Multiplikationsregel für den Abbildungsgrad^[8] das folgende Korollar:

Für zwei stetige Abbildungen   ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$   der n-Sphäre in sich selbst sind die verketteten Funktionen   ${\displaystyle f_{1}\circ f_{2}}$   und   ${\displaystyle f_{2}\circ f_{1}}$   stets homotop.^[9]

Literatur

Originalarbeiten

• Heinz Hopf: Abbildungsklassen n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. In: Math. Ann. Band 96, 1927, S. 209–224 (maths.ed.ac.uk [PDF; 1,5 MB]). 
• Luitzen Egbertus Jan Brouwer: Abbildung von Mannigfaltigkeiten. In: Math. Ann. Band 71, 1912, S. 97–115 (digizeitschriften.de). 

Monographien

• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277). 
• Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X (MR0533264). 
• James Dugundji: Topology. 8. Auflage. Allyn and Bacon, Boston 1973. 
• Glen E. Bredon: Topology and Geometry (= Graduate texts in mathematics. Band 139). Springer-Verlag, New York [u. a.] 1993, ISBN 3-540-97926-3. 
• Tammo tom Dieck: Topologie. 2., völlig neu bearb. und erw. Auflage. De Gruyter, Berlin [u. a.] 2000, ISBN 3-11-016236-9. 
• Theodor Bröcker, Tammo tom Dieck: Kobordismentheorie (= Lecture Notes in Mathematics. Band 178). Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 1970, ISBN 3-540-05341-7. 

Einzelnachweise

1. ↑ Heinz Hopf: Abbildungsklassen n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. In: Math. Ann. Band 96, S. 209 ff. 
2. ↑ Schubert: S. 289–290.
3. ↑ Dabei wird als wesentliches Werkzeug die sogenannte Pontrjagin-Thom-Konstruktion benutzt; vgl. Kapitel II, Abschnitt 16 bei Bredon: S. 118 ff. sowie Kapitel III bei Bröcker / tom Dieck: S. 24 ff.
4. ↑ tom Dieck: S. 284–285.
5. ↑ Dugundji: S. 352.
6. ↑ Harzheim: S. 169.
7. ↑ Bredon: S. 124.
8. ↑ Harzheim: S. 168, 136.
9. ↑ Harzheim: S. 169.