Satz von Halmos-Savage

Der Satz von Halmos-Savage ist ein Lehrsatz der mathematischen Statistik, der bei Vorliegen einer dominierten Verteilungsklasse ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Suffizienz von σ-Algebren (und damit auch von Statistiken) liefert. Damit ist der Satz von Halmos-Savage ein Hilfsmittel, um zu überprüfen, ob gewisse Funktionen eine Datenkompression ohne Informationsverlust ermöglichen. Aus dem Satz von Halmos-Savage lässt sich das leichter zu handhabende Neyman-Kriterium für Suffizienz ableiten. Ebenso lassen sich aus dem Satz Kriterien für die Existenz von minimalsuffizienten σ-Algebren ableiten.

Der Satz wurde 1949 von Paul Halmos und Leonard J. Savage bewiesen.^[1]

Rahmenbedingungen

Gegeben sei ein statistisches Modell ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},{\mathcal {P}})}$ mit einer dominierten Verteilungsklasse ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$.

Für eine beliebige Verteilungsklasse ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ sei ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {P}}}$ die Menge aller ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$-Nullmengen. Für eine dominierte Verteilungsklasse existiert nun immer ein dominierendes ${\displaystyle P^{*}}$, so dass ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {P}}={\mathcal {N}}_{P^{*}}}$ und ${\displaystyle P^{*}}$ eine abzählbare Konvexkombination mit echt positiven Koeffizienten von Elementen aus ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ist. Es gilt also

${\displaystyle P^{*}=\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}P_{i}{\text{ mit }}\alpha _{i}>0{\text{ und }}\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}=1}$.

Aussage

Sei ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ eine dominierte Verteilungsklasse und ${\displaystyle P^{*}}$ wie oben angegeben. Dann ist eine Unter-σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ genau dann suffizient, wenn für alle ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ eine Funktion ${\displaystyle f_{P}\in {\mathcal {L}}(X,{\mathcal {S}})}$ existiert, so dass ${\displaystyle f_{P}}$ ${\displaystyle P^{*}}$-fast sicher die Radon-Nikodým-Ableitung von ${\displaystyle P}$ bezüglich ${\displaystyle P^{*}}$ ist, also

${\displaystyle f_{P}={\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} P^{*}}}\quad P^{*}{\text{-fast sicher}}}$.

Beispiel

Seien ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}\subset {\mathcal {S}}_{2}\subset {\mathcal {A}}}$ σ-Algebren und sei ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ suffizient. Außerdem sei ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ eine dominierte Verteilungsklasse. Dann existiert nach dem Satz von Halmos-Savage ein ${\displaystyle f_{P}}$, so dass ${\displaystyle f_{P}\in {\mathcal {L}}(X,{\mathcal {S}}_{1})}$ und

${\displaystyle f_{P}={\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} P^{*}}}\quad P^{*}{\text{-fast sicher}}}$.

Da aber ${\displaystyle L(X,{\mathcal {S}}_{1})\subset L(X,{\mathcal {S}}_{2})}$ ist, gilt ${\displaystyle f_{P}\in L(X,{\mathcal {S}}_{2})}$. Da ${\displaystyle f_{P}}$ immer noch die Dichten-Eigenschaft erfüllt, ist mit nochmaliger Anwendung des Satzes auch ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}}$ suffizient.

Man beachte, dass diese Aussage im Allgemeinen nicht gilt und dies eines der Defizite des Suffizienzbegriffs darstellt.

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3. 

Einzelnachweise

1. ↑ Halmos, Savage: Application of the Radon-Nikodym Theorem to the Theory of Sufficient Statistics, Annals of Mathematical Statistics, Band 20, 1949, S. 225–241, Project Euclid