Satz von Cantor

Der Satz von Cantor besagt, dass eine Menge ${\displaystyle \,A}$ weniger mächtig als ihre Potenzmenge ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ (der Menge aller Teilmengen) ist, dass also ${\displaystyle |A|<|{\mathcal {P}}(A)|}$ gilt. Er stammt vom Mathematiker Georg Cantor und ist eine Verallgemeinerung von Cantors zweitem Diagonalargument. Der Satz ist in allen Modellen gültig, die das Aussonderungsaxiom erfüllen.

Bemerkung: Der Satz gilt für alle Mengen, insbesondere auch für die leere Menge, denn ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\emptyset )=\{\emptyset \}}$ ist einelementig. Allgemein gilt für endliche Mengen, dass die Potenzmenge einer ${\displaystyle n}$-elementigen Menge ${\displaystyle 2^{n}}$ Elemente hat. Da stets ${\displaystyle n<2^{n}}$, ist der Satz von Cantor für endliche Mengen klar, er gilt aber eben auch für unendliche Mengen.

Beweis

Offensichtlich gilt ${\displaystyle |A|\leq |{\mathcal {P}}(A)|}$, da ${\displaystyle x\mapsto \{x\}}$ eine injektive Abbildung ${\displaystyle A\to {\mathcal {P}}(A)}$ ist.

Wir wollen nun zeigen, dass es keine surjektive Abbildung ${\displaystyle A\to {\mathcal {P}}(A)}$ geben kann.

Um einen Widerspruch zu erhalten, nehmen wir an, dass es doch eine surjektive Abbildung ${\displaystyle f\colon A\to {\mathcal {P}}(A)}$ gibt.

Wir definieren nun ${\displaystyle M:=\{x\in A\mid x\not \in f(x)\}}$. Aufgrund des Aussonderungsaxioms ist ${\displaystyle M}$ eine Menge und somit ${\displaystyle M\in {\mathcal {P}}(A)}$. Wegen der Annahme, dass ${\displaystyle f}$ surjektiv ist, gibt es ein ${\displaystyle a\in A}$ mit ${\displaystyle f(a)=M}$. Dann gilt aber nach Definition von ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle a\in f(a)=M\,\iff a\notin f(a)}$

Dieser Widerspruch zeigt, dass die Annahme falsch ist und es keine surjektive Abbildung ${\displaystyle A\to {\mathcal {P}}(A)}$ geben kann – dann kann es aber erst recht keine bijektive Abbildung geben, was den Fall ${\displaystyle |A|=|{\mathcal {P}}(A)|}$ ausschließt, und wir wissen ${\displaystyle |A|<|{\mathcal {P}}(A)|}$.

Historisches

Cantor lieferte einen ersten Beweis in seiner Abhandlung Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre von 1890. Hierfür zeigte er, dass die Menge aller Funktionen ${\displaystyle g\colon A\to {\mathcal {\{}}0,1\}}$ mächtiger ist als ${\displaystyle A}$ selbst, wobei die Menge der Funktionen ${\displaystyle g}$ die gleiche Mächtigkeit wie die Potenzmenge von ${\displaystyle A}$ besitzt (siehe Potenzmenge#Charakteristische Funktionen). Weitere Beweise stammen von Felix Hausdorff in Grundzüge der Mengenlehre (1914) und von Ernst Zermelo in Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre (1908).

Zusammenhang mit Cantors weiteren Arbeiten

Man kann die Überabzählbarkeit der Menge der reellen Zahlen auch über den Satz von Cantor beweisen, wenn wir wissen, dass ${\displaystyle |\mathbb {R} |=|{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )|}$. Denn dann ist ${\displaystyle |\mathbb {N} |<|\mathbb {R} |=|{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )|}$.

Des Weiteren lässt sich mit dem Satz von Cantor die zweite Cantorsche Antinomie zeigen. Diese besagt, dass die Allklasse ${\displaystyle \{x\mid x=x\}}$ keine Menge ist, sondern eine echte Klasse. Denn nach Definition wäre die Potenzmenge der Allklasse eine Teilmenge derselben, was dem Satz von Cantor widerspricht.

Quellen

• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, Berlin Heidelberg 2004, 2. Auflage. ISBN 978-3-540-20401-5.