Roys Identität

Roys Identität (Aussprache wie französisch roi,[ʁwa-][1]) ist ein bedeutender Satz innerhalb der Mikroökonomie. Er konstatiert eine wichtige Beziehung zwischen der marshallschen Nachfrage und der indirekten Nutzenfunktion. Benannt wurde er nach dem französischen Ökonomen René Roy.

Darstellung und Bedeutung

Trotz der in vielerlei Hinsicht bestehenden Analogie zwischen dem Konzept der indirekten Nutzenfunktion und demjenigen der Ausgabenfunktion gibt es auf den ersten Blick keine unmittelbare Analogie zu Shephards Lemma, nach dem die Ableitung der Ausgabenfunktion nach dem Preis der korrespondierenden Hicks’schen Nachfragefunktion entspricht. Eine geringfügige Modifikation liefert allerdings dennoch eine gewisse Vergleichbarkeit. Die Beziehung wird als Roys Identität bezeichnet.

Roys Identität[2]: Sei stetig und streng monoton steigend. Sei weiter in einer Stelle differenzierbar und . Dann gilt für alle ():

Hinsichtlich der beiden Anforderungen des Theorems an die Nutzenfunktion würde es dabei sogar genügen vorauszusetzen, dass stetig ist und die zugrunde liegende Präferenz-Indifferenz-Relation die Eigenschaft der lokalen Nichtsättigung erfüllt sowie konvex ist.[3] Anmerkung: Man bezeichnet eine Präferenzordnung als lokal nicht gesättigt, wenn für beliebiges und für jede -Umgebung um ein existiert, für das gilt: (siehe auch Präferenzordnung). Die praktisch gebräuchlichere stärkere Annahme der strengen Monotonie ermöglicht aber (zusammen mit derjenigen der Differenzierbarkeit der indirekten Nutzenfunktion) auch einen einfacheren Beweis der Beziehung.

Beweis

Die Lagrangefunktion des Nutzenmaximierungsproblem (vgl. der Artikel Marshallsche Nachfragefunktion) lautet . Das Envelope-Theorem impliziert darauf angewandt, dass

sowie

(2) eingesetzt in (1) liefert dann sofort Roys Identität.

Siehe auch

Literatur

  • René Roy: La Distribution du Revenu Entre Les Divers Biens. In: Econometrica. 15, 1974, S. 205–225.
  • Hal Varian: Microeconomic Analysis. W. W. Norton, New York und London 1992, ISBN 0-393-95735-7.
  • Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.
  • Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-19-507340-1.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Vgl. Peter Hammond und Knut Sydsaeter: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Basiswissen mit Praxisbezug. Pearson Deutschland, 2008, ISBN 3-8273-7357-3, S. 601.
  2. Vgl. Jehle/Reny 2011, S. 29; mit leicht schwächeren Annahmen Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 73 f.
  3. Vgl. Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 59.