Reduktive Gruppe

Die reduktive Gruppe ist ein Begriff der Mathematik, der vor allem in der Darstellungstheorie und der geometrischen Invariantentheorie von Bedeutung ist.

Definition

Eine reduktive Gruppe ${\displaystyle G}$ ist eine algebraische Gruppe über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${\displaystyle k}$, die eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

• Das Radikal der Komponente der Eins ${\displaystyle G_{0}}$ ist ein algebraischer Torus, insbesondere also eine abelsche Gruppe.
• Das unipotente Radikal von ${\displaystyle G_{0}}$ ist die triviale Gruppe. Mit anderen Worten: ${\displaystyle G_{0}}$ hat keine abgeschlossenen, zusammenhängenden und unipotenten Normalteiler.
• Die Gruppe ist das Produkt ${\displaystyle G=ST}$ zweier abgeschlossener Normalteiler ${\displaystyle S}$ und ${\displaystyle T}$, wobei ${\displaystyle S}$ halbeinfach und ${\displaystyle T}$ ein algebraischer Torus ist.

Im letzten Fall ist ${\displaystyle S=\left[G_{0},G_{0}\right]}$ und ${\displaystyle T}$ das Radikal von ${\displaystyle G}$, der Durchschnitt ${\displaystyle S\cap T}$ ist endlich und jede halbeinfache oder unipotente Untergruppe von ${\displaystyle G_{0}}$ ist in ${\displaystyle S}$ enthalten.

Im Fall ${\displaystyle char(k)=0}$ ist ${\displaystyle G}$ genau dann reduktiv, wenn jede Darstellung vollständig reduzibel ist und dies ist genau dann der Fall, wenn die adjungierte Darstellung vollständig reduzibel ist.

Im Fall ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$ ist ${\displaystyle G}$ genau dann reduktiv, wenn sie die Komplexifizierung einer zusammenhängenden kompakten Lie-Gruppe ist.

Beispiele

Sei ${\displaystyle k}$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Dann sind die folgenden Gruppen reduktiv.

• Die multiplikative Gruppe ${\displaystyle G_{m}(k)=k^{*}}$.
• Die allgemeine lineare Gruppe ${\displaystyle GL(n,k)}$.
• Die spezielle lineare Gruppe ${\displaystyle SL(n,k)}$.
• Alle halbeinfachen algebraischen Gruppen.

Reduktive Gruppenschemata

Reduktivität kann für Gruppenschemata über beliebigen Basisschemata definiert werden. Dabei wird aus technischen Gründen eine Zusammenhangsbedingung gefordert.^[1]

Ein reduktives Gruppenschema über einem Schema ${\displaystyle S}$ ist ein glattes ${\displaystyle S}$-affines ${\displaystyle S}$-Gruppenschema ${\displaystyle G}$, sodass alle geometrischen Fasern ${\displaystyle G_{\overline {s}}}$ von ${\displaystyle G}$ zusammenhängende reduktive Gruppen im Sinne der Definition im ersten Abschnitt sind.^[2]

Ist ${\displaystyle S}$ das Spektrum eines algebraisch abgeschlossenen Körpers ${\displaystyle k}$, so ergibt sich die Definition von zusammenhängenden reduktiven Gruppen. In diesem Fall ist nämlich ${\displaystyle \mathrm {id} :S\to S}$ ein geometrischer Punkt und für jeden algebraisch abgeschlossenen Körper ${\displaystyle l}$, der ${\displaystyle k}$ erweitert, ist der Basiswechsel ${\displaystyle H_{l}}$ einer zusammenhängenden reduktiven Gruppe ${\displaystyle H}$ wieder zusammenhängend und reduktiv.

Literatur

• Armand Borel, Jacques Tits: Groupes réductifs. Publ. Math. IHES, 27 (1965) pp. 55–150.
• Brian Conrad: Reductive group schemes.
• James E. Humphreys: Linear Algebraic Groups. Springer, New York 1975, ISBN 978-1-4684-9445-7.
• V.L. Popov: Hilbert's theorem on invariants. Soviet Math. Dokl., 20 : 6 (1979) pp. 1318–1322 Dokl. Akad. Nauk SSSR, 249 : 3 (1979) pp. 551–555.
• T.A. Springer: Invariant theory. Lect. notes in math., 585, Springer (1977).

Weblinks

• What is ... a reductive group?
• J.S.Milne: Reductive Groups
• Reductive Group (Encyclopedia of Mathematics)

Einzelnachweise

1. ↑ Die Gründe für diese Einschränkung sind in Conrad §3 ausgeführt.
2. ↑ Conrad: Def. 3.1.1