Quasikonforme Abbildung

In der Funktionentheorie ist eine quasikonforme Abbildung eine Verallgemeinerung einer biholomorphen Abbildung. Hier wird im Wesentlichen auf die Winkeltreue verzichtet.

Definition

Seien ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H}$ zwei Gebiete der komplexen Zahlenebene. Ein Homöomorphismus

${\displaystyle f\colon G\longrightarrow H}$

heißt quasikonform, wenn es eine positive reelle Zahl ${\displaystyle k}$ kleiner 1 gibt, so dass

${\displaystyle \|\mu \|_{\infty }<k}$

gilt. Dabei ist

${\displaystyle \mu ={\frac {f_{\bar {z}}}{f_{z}}}={\frac {\partial _{\bar {z}}f}{\partial _{z}f}}}$

die komplexe Dilatation, auch Beltrami-Koeffizient genannt.

Die Dilatation von f im Punkt z ist definiert als

${\displaystyle K(z)={\frac {1+|\mu (z)|}{1-|\mu (z)|}}.}$

Das Supremum

${\displaystyle K=\sup _{z\in D}|K(z)|={\frac {1+\|\mu \|_{\infty }}{1-\|\mu \|_{\infty }}}}$

ist die Dilatation von f.

Beltrami-Gleichung

Sei k eine positive reelle Zahl kleiner 1. Die partielle Differentialgleichung

${\displaystyle \partial _{\bar {z}}f=\mu (z)\partial _{z}f,}$

wobei ${\displaystyle \mu (z)}$ eine integrierbare Funktion mit ${\displaystyle \|\mu \|_{\infty }<k}$ ist, heißt Beltrami-Gleichung.

Hauptsatz

Auf der riemannschen Zahlenkugel gilt, dass die Lösungen der Beltrami-Gleichung genau die quasikonformen Abbildungen sind.

Als Anwendung dieses Satzes kann man zeigen, dass alle fastkomplexen Strukturen auf der 2-Sphäre und auf allen anderen zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten integrabel sind, d. h., alle fastkomplexen Strukturen sind komplexe Strukturen.

Literatur

• V. Gol'dshtein, Yu. G. Reshet'nyak: Quasiconformal mappings and Sobolev spaces. Kluwer, 1990 (übersetzt aus dem Russischen).
• Papadopoulos, Athanase, ed. (2009), Handbook of Teichmüller theory. Vol. II, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 13, European Mathematical Society (EMS), Zürich, doi:10.4171/055, ISBN 978-3-03719-055-5, MR2524085
• C. B. Morrey: On the solutions of quasilinear elliptic partial differential equations. Trans. Amer. Math. Soc., Bd. 43, 1938, Seiten 126–166.
• A. Bejancu: Quasi-conformal mapping. In: Hazewinkel, Michiel: Encyclopaedia of Mathematics. Springer, 2001, ISBN 978-1556080104.
• Papadopoulos, Athanase, ed. (2007), Handbook of Teichmüller theory. Vol. I, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 11, European Mathematical Society (EMS), Zürich, doi:10.4171/029, ISBN 978-3-03719-029-6, MR2284826