Quadratsummen-Funktion

Die Quadratsummen-Funktion (engl. sum of squares function) ist eine zahlentheoretische Funktion, die angibt, auf wie viele Arten eine gegebene natürliche Zahl als Summe von Quadraten ganzer Zahlen dargestellt werden kann, wobei alle Vertauschungen und Vorzeichenkombinationen mitgezählt werden.

Definition

Die ersten Werte von rk (Primzahlen mit hellblauen Hintergrund)
nnr1(n)r2(n)r3(n)r4(n)r5(n)r6(n)r7(n)r8(n)
0011111111
11246810121416
22041224406084112
330083280160280448
42224624902525741136
550824481123128402016
62‧300249624054412883136
770006432096023685504
823041224200102034449328
9322430104250876354212112
102‧508241445601560442414112
11110024965602400756021312
1222‧3008964002080924031808
131308241125602040845635168
142‧7004819280032641108838528
153‧500019296041601657656448
16242462473040921849474864
1717084814448034801780878624
182‧320436312124043801974084784
191900241601520720027720109760
2022‧50824144752655234440143136

Die Funktion ist für alle und definiert als[1]

d. h. als Anzahl der Darstellungsmöglichkeiten von als Summe von Quadraten ganzer Zahlen mit .

Beispielsweise gilt

für alle . Es ist

,

da mit jeweils 2 Vorzeichenkombinationen gilt, und auch

wegen mit 4 Vorzeichenkombinationen. Andererseits ist

,

weil es keine Darstellung der Zahl 3 als Summe von 2 Quadraten gibt.

Aus der Definition folgt sofort die Beziehung

aus der sich eine Rekursionsformel zur effizienten Berechnung ableiten lässt:

Durchschnittliche Größenordnung

Es sei[2]

.

Das ist anschaulich die Anzahl der (ganzzahligen) Gitterpunkte in einer -dimensionalen Kugel mit dem Radius und darum näherungsweise gleich dem Kugelvolumen. Genauer lässt sich rekursiv ableiten

,

wobei das Landau-Symbol ist und die Konstanten die Volumina der -dimensionalen Einheitskugeln sind:

Die durchschnittliche Größenordnung von ist damit , also z. B. die von .

Erzeugende Funktion

Die erzeugende Funktion erhält man als Potenz der Jacobischen Thetafunktion für den Spezialfall . Dafür gilt

Man erhält daraus

.

Spezielle Fälle

Werte und durchschnittliche Größenordnung von r2(n)
Werte und durchschnittliche Größenordnung von r4(n)
Werte und durchschnittliche Größenordnung von r8(n)

Einige spezielle Formeln sind z. B. (für ):

Für gilt:

Mit Hilfe der Primfaktorzerlegung , wobei die Primfaktoren der Form und die Primfaktoren der Form sind, ergibt sich als weitere Formel

,

wenn alle Exponenten gerade sind. Ist mindestens ein ungerade, dann ist . Nach Definition ist auch die Anzahl der Gaußschen Zahlen mit der Norm .

Für bewies Gauß eine Formel für quadratfreie Zahlen

wobei die Klassenzahl einer ganzen Zahl bezeichnet.

Für beliebige gilt nach dem Drei-Quadrate-Satz genau dann, wenn sich in der Form darstellen lässt.[3]

Die Formel für stammt von Carl Gustav Jacob Jacobi und liefert als achtfache Summe aller Teiler von die nicht durch 4 teilbar sind (Satz von Jacobi):

ist auch die Anzahl aller Lipschitz-Quaternionen mit der Norm .

Jacobi fand auch eine explizite Formel für :

Beziehung zur Sierpiński-Konstanten

Der Limes

existiert und wird (nach Wacław Sierpiński) als Sierpiński-Konstante bezeichnet. Diese lässt sich durch die Kreiszahl, die Euler-Mascheroni-Konstante und die Gammafunktion ausdrücken:

Siehe auch

Weblinks

Einzelnachweise

  1. E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 165.
  2. E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 197.
  3. E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 162.

Auf dieser Seite verwendete Medien

Quadratsummen-Funktion r 8.svg
Autor/Urheber: W. Köhler, Lizenz: CC BY-SA 3.0 de
Quadratsummen-Funktion r_8
Quadratsummen-Funktion r 4.svg
Autor/Urheber: W. Köhler, Lizenz: CC BY-SA 3.0 de
Quadratsummen-Funktion r_4