Primorial

Mit Primorial (von englisch primorial), oder Primfakultät, bezeichnet man das Produkt aller Primzahlen, die eine bestimmte Zahl nicht übersteigen. Die Begriffe sind eng mit der Fakultät verwandt und kommen vor allem in dem mathematischen Gebiet der Zahlentheorie zum Einsatz.

Der Name Primorial ist das eingedeutschte englische Wort primorial. Das Produkt der Primzahlen kleiner gleich wird allerdings im Deutschen selten Primorial, noch seltener Primfakultät genannt. Meist wird es umschrieben als „Produkt der Primzahlen kleiner gleich n“.

Definition

Für eine natürliche Zahl ist die Primfakultät definiert als das Produkt aller Primzahlen kleiner gleich :

bzw. als

.

Beide unterschiedliche Definitionen sind in der mathematischen Schreibweise einfach zu unterscheiden und in sich konsistent, allerdings beide Definitionen nicht durch den Funktionsnamen (Primorial, Primefactorial wie Primfakultät) zu unterscheiden.

,
.

Manchmal unterscheidet man den Spezialfall, in dem Primzahl ist, und definiert nur für diesen analog das Primorial, das für nicht-prime undefiniert bleibt.

Im Fall liegt das leere Produkt vor, der Wert der Primfakultät und des Primorials beträgt dann 1. Für Argumente , die keine Primzahlen sind, besitzt das Primorial keine Werte. Die Primfakultät liefert für diese den Wert, den die nächstkleinere Primzahl liefern würde. Im praktischen Gebrauch werden jedoch beide Begriffe meist als Synonym verwendet.

Beispiel

Um den Wert des Primorials zu berechnen, bestimmt man zunächst alle Primzahlen kleiner gleich 7. Diese sind 2, 3, 5 und 7. Das Produkt dieser vier Primzahlen liefert . Für 9 könnte man dagegen kein Primorial, wohl aber die Primfakultät berechnen – da 9 keine Primzahl ist und die nächstkleinere Primzahl die 7 und die nächstgrößere Primzahl die 11 ist, gilt .

Eigenschaften

Vergleich der Fakultät (gelb) und der Primfakultät (rot)
  • Es seien und zwei benachbarte Primzahlen. Dann gilt für jede natürliche Zahl mit :
  • Für das Primorial kennt man folgende Abschätzung[1]
.
  • Ferner gilt:
Für sind die Werte kleiner als ,[2] aber mit größeren überschreiten die Werte der Funktion die Schranke und oszillieren später unendlich oft um .
  • Ist die -te Primzahl, dann hat genau Teiler.
Zum Beispiel hat die Zahl zwei Teiler, hat vier Teiler, hat acht Teiler und hat bereits Teiler, denn 97 ist die 25. Primzahl.
Die Engel-Entwicklung (eine spezielle Stammbruch-Entwicklung) dieser Zahl bildet die Folge der Primzahlen (Siehe Folge A064648 in OEIS)
  • Der Satz von Euklid nutzt den Ausdruck für den Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Funktionswerte bis 100

nn#
2002
3…4006
5…60030
7…100210
11…1202.310
13…16030.030
17…180510.510
19…2209.699.690
23…280223.092.870
29…3006.469.693.230
31…360200.560.490.130
37…4007.420.738.134.810
41…420304.250.263.527.210
43…46013.082.761.331.670.030
47…520614.889.782.588.491.410
53…58032.589.158.477.190.044.730
59…6001.922.760.350.154.212.639.070
61…660117.288.381.359.406.970.983.270
67…7007.858.321.551.080.267.055.879.090
71…720557.940.830.126.698.960.967.415.390
73…78040.729.680.599.249.024.150.621.323.470
79…8203.217.644.767.340.672.907.899.084.554.130
83…880267.064.515.689.275.851.355.624.017.992.790
89…96023.768.741.896.345.550.770.650.537.601.358.310
97…1002.305.567.963.945.518.424.753.102.147.331.756.070
kpkpk#
122
236
3530
47210
5112.310
61330.030
717510.510
8199.699.690
923223.092.870
10296.469.693.230
1131200.560.490.130
12377.420.738.134.810
1341304.250.263.527.210
144313.082.761.331.670.030
1547614.889.782.588.491.410
165332.589.158.477.190.044.730
17591.922.760.350.154.212.639.070
1861117.288.381.359.406.970.983.270
19677.858.321.551.080.267.055.879.090
2071557.940.830.126.698.960.967.415.390
217340.729.680.599.249.024.150.621.323.470
22793.217.644.767.340.672.907.899.084.554.130
2383267.064.515.689.275.851.355.624.017.992.790
248923.768.741.896.345.550.770.650.537.601.358.310
25972.305.567.963.945.518.424.753.102.147.331.756.070

(Siehe Folge A002110 in OEIS)

Quellen

  1. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1.
    Theorem 415, S. 341
  2. L. Schoenfeld: Sharper bounds for the Chebyshev functions and . II. Math. Comp. Bd. 34, Nr. 134 (1976) 337–360; dort S. 359.
    Zitiert in: G. Robin: Estimation de la fonction de Tchebychef sur le -ieme nombre premier et grandes valeurs de la fonction , nombre de diviseurs premiers de . Acta Arithm. XLII (1983) 367–389 (PDF 731KB); dort S. 371

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