Philosophische Logik

In einem engen Sinne ist die philosophische Logik der Bereich der Philosophie, der sich mit der Anwendung logischer Methoden auf philosophische Probleme befasst, oft in Form von erweiterten logischen Systemen wie der Modallogik. Einige Theoretiker verstehen die philosophische Logik hingegen in einem weiten Sinne als das Studium des Geltungsbereichs und der Natur der Logik im Allgemeinen. In diesem Sinne kann die philosophische Logik als identisch mit der Philosophie der Logik angesehen werden, welche zusätzliche Themen wie die Definition der Logik oder eine Diskussion der grundlegenden Begriffe der Logik umfasst. Der vorliegende Artikel behandelt die philosophische Logik im engeren Sinne, in dem sie ein Forschungsgebiet innerhalb der Philosophie der Logik darstellt.

Ein wichtiges Thema für die philosophische Logik ist die Frage, wie die große Vielfalt nicht-klassischer logischer Systeme, von denen viele jüngeren Ursprungs sind, zu klassifizieren ist. Eine in der Literatur häufig anzutreffende Form der Klassifizierung ist die Unterscheidung zwischen erweiterten Logiken und abweichenden Logiken. Die Logik selbst kann als die Lehre von gültigen Schlussfolgerungen definiert werden. Die klassische Logik ist die vorherrschende Form der Logik und artikuliert Schlussregeln in Übereinstimmung mit logischen Intuitionen, die von vielen geteilt werden, wie der Satz vom ausgeschlossenen Dritten, die Doppelnegationselimination und die Bivalenz der Wahrheit.

Erweiterte Logiken sind logische Systeme, die auf der klassischen Logik und ihren Schlussregeln basieren, diese aber durch die Einführung neuer logischer Symbole und der entsprechenden Schlussregeln für diese Symbole auf neue Bereiche erweitern. Im Fall der alethischen Modallogik werden diese neuen Symbole verwendet, um nicht nur auszudrücken, was einfach wahr ist, sondern auch, was möglicherweise oder notwendigerweise wahr ist. Sie wird oft mit der Semantik möglicher Welten kombiniert, die besagt, dass eine Proposition möglicherweise wahr ist, wenn sie in einer möglichen Welt wahr ist, während sie notwendigerweise wahr ist, wenn sie in allen möglichen Welten wahr ist. Die deontische Logik bezieht sich auf die Ethik und bietet eine formale Behandlung ethischer Begriffe, wie Pflicht und Erlaubnis. Die temporale Logik formalisiert zeitliche Beziehungen zwischen Aussagen. Dazu gehören Ideen wie, ob etwas zu einem bestimmten Zeitpunkt oder zu jedem Zeitpunkt wahr ist und ob es in der Zukunft oder in der Vergangenheit wahr ist. Die epistemische Logik gehört zur Erkenntnistheorie. Mit ihr lässt sich nicht nur ausdrücken, was der Fall ist, sondern auch, was jemand glaubt oder weiß, dass es der Fall sei. Ihre Schlussregeln artikulieren, was aus der Tatsache folgt, dass jemand diese Art von mentalen Zuständen hat. Logiken höherer Stufe wenden die klassische Logik nicht direkt auf bestimmte neue Teilbereiche innerhalb der Philosophie an, sondern verallgemeinern sie, indem sie eine Quantifizierung nicht nur über Individuen, sondern auch über Prädikate zulassen.

Im Gegensatz zu diesen Formen der erweiterten Logik lehnen die abweichenden Logiken einige der Grundprinzipien der klassischen Logik ab und werden oft als ihre Rivalen angesehen. Die intuitionistische Logik basiert auf der Idee, dass die Wahrheit von der Verifizierung durch einen Beweis abhängt. Dies führt dazu, dass sie bestimmte Schlussregeln der klassischen Logik ablehnt, die mit dieser Annahme nicht vereinbar sind. Die freie Logik modifiziert die klassische Logik, um existenzielle Voraussetzungen zu vermeiden, die mit der Verwendung von möglicherweise leeren singulären Termen wie Namen und definiten Kennzeichnungen verbunden sind. Mehrwertige Logiken erlauben neben wahr und falsch zusätzliche Wahrheitswerte. Sie lehnen damit das Prinzip der Bivalenz der Wahrheit ab. Parakonsistente Logiken sind logische Systeme, die in der Lage sind, mit Widersprüchen umzugehen. Sie tun dies, indem sie das Prinzip ex falso quodlibet vermeiden, das in der klassischen Logik zu finden ist. Die Relevanzlogik ist eine bekannte Form der parakonsistenten Logik. Sie lehnt die rein wahrheitsfunktionale Auslegung der materialen Implikation ab, indem sie die zusätzliche Anforderung der Relevanz einführt: Damit die Implikation wahr ist, muss der Vordersatz für ihren Folgesatz relevant sein.

Definition und verwandte Bereiche

Der Begriff „philosophische Logik“ wird von verschiedenen Theoretikern auf leicht unterschiedliche Weise verwendet.[1] Wenn sie in einem engen Sinne verstanden wird, wie in diesem Artikel erörtert, ist philosophische Logik der Bereich der Philosophie, der die Anwendung logischer Methoden auf philosophische Probleme untersucht. Dies geschieht normalerweise in Form der Entwicklung neuer logischer Systeme, um die klassische Logik entweder auf neue Bereiche auszudehnen oder sie zu modifizieren, um bestimmte logische Intuitionen einzubeziehen, die von der klassischen Logik nicht angemessen behandelt werden.[2][1][3][4] In diesem Sinne untersucht die philosophische Logik verschiedene Formen nicht-klassischer Logik, wie die Modallogik und die deontische Logik. Auf diese Weise werden verschiedene grundlegende philosophische Begriffe wie Möglichkeit, Notwendigkeit, Pflicht, Erlaubnis und Zeit auf logisch präzise Weise behandelt, indem die inferenziellen Rollen, die sie im Verhältnis zueinander spielen, formal ausgedrückt werden.[5][4][1][3] Einige Theoretiker verstehen die philosophische Logik in einem weiten Sinne als das Studium des Geltungsbereichs und der Natur der Logik im Allgemeinen. Laut dieser Auffassung untersucht sie verschiedene philosophische Probleme, die von der Logik aufgeworfen werden, einschließlich der Grundbegriffe der Logik. In diesem weiten Sinne kann sie als identisch mit der Philosophie der Logik verstanden werden, in der diese Themen behandelt werden.[6][7][8][1] Der vorliegende Artikel befasst sich nur mit dem engen Begriff der philosophischen Logik. In diesem Sinne bildet sie einen Teilbereich der Philosophie der Logik.[1]

Von zentraler Bedeutung für die philosophische Logik ist das Verständnis dessen, was Logik ist und welche Rolle die philosophische Logik in ihr spielt. Logik kann als die Lehre von gültigen Schlussfolgerungen definiert werden.[4][6][9] Eine Schlussfolgerung ist der Schritt des Denkens, bei dem man von den Prämissen zu einer Konklusion übergeht.[10] Oft wird stattdessen auch der Begriff „Argument“ verwendet. Eine Schlussfolgerung ist gültig, wenn es unmöglich ist, dass die Prämissen wahr und die Konklusion falsch sind. In diesem Sinne gewährleistet die Wahrheit der Prämissen die Wahrheit der Konklusion.[11][10][12][1] Dies lässt sich in Form von Schlussregeln ausdrücken: Eine Schlussfolgerung ist gültig, wenn ihre Struktur, d. h. die Art und Weise, wie ihre Prämissen und ihre Konklusion aufgebaut sind, einer Schlussregel folgt.[4] Verschiedene Logiksysteme liefern unterschiedliche Darstellungen davon, wann eine Schlussfolgerung gültig ist. Dies bedeutet, dass sie unterschiedliche Schlussregeln verwenden. Der traditionell vorherrschende Ansatz zur Gültigkeit wird als klassische Logik bezeichnet. Die philosophische Logik befasst sich jedoch mit der nichtklassischen Logik: Sie untersucht alternative Schlussfolgerungssysteme.[2][1][3][4] Die Beweggründe dafür lassen sich grob in zwei Kategorien einteilen. Manchen ist die klassische Logik zu eng: Sie lässt viele philosophisch interessante Themen aus. Dies kann gelöst werden, indem die klassische Logik um zusätzliche Symbole erweitert wird, welche eine logisch strenge Behandlung weiterer Gebiete ermöglichen.[6][13][14] Andere sehen Fehler in der klassischen Logik selbst und versuchen, eine konkurrierende Darstellung des Schlussfolgerns zu geben. Dies führt in der Regel zur Entwicklung abweichender Logiken, von denen jede die Grundprinzipien der klassischen Logik modifiziert, um ihre angeblichen Mängel zu beheben.[6][13][14]

Klassifizierung von Logiken

Moderne Entwicklungen auf dem Gebiet der Logik haben zu einer großen Vermehrung logischer Systeme geführt.[13] Dies steht in starkem Gegensatz zur historischen Dominanz der aristotelischen Logik, die mehr als zweitausend Jahre lang als der einzige Kanon der Logik galt.[1] Abhandlungen über moderne Logik behandeln diese verschiedenen Systeme oft als eine Liste separater Themen, ohne eine klare Klassifizierung von ihnen zu geben. Eine in der wissenschaftlichen Literatur häufig erwähnte Klassifikation geht jedoch auf Susan Haack zurück und unterscheidet zwischen klassischer Logik, erweiterten Logiken und abweichenden Logiken.[6][13][15] Diese Klassifikation beruht auf der Idee, dass die klassische Logik, d. h. die Aussagenlogik und die Logik erster Stufe, einige der gängigsten logischen Intuitionen formalisiert. In diesem Sinne ist sie eine grundlegende Darstellung der Axiome des gültigen Schlussfolgerns.[4][9] Erweiterte Logiken übernehmen diese grundlegende Darstellung und erweitern sie auf zusätzliche Bereiche. Dies geschieht in der Regel durch das Hinzufügen von neuem Vokabular, um beispielsweise Notwendigkeit, Pflicht oder Zeit auszudrücken.[13][1][4][9] Diese neuen Symbole werden dann in den logischen Mechanismus integriert, indem angegeben wird, welche neuen Schlussregeln für sie gelten, z. B. dass die Möglichkeit aus der Notwendigkeit folgt.[15][13] Abweichende Logiken hingegen lehnen einige der Grundannahmen der klassischen Logik ab. In diesem Sinne sind sie keine bloßen Erweiterungen von ihr, sondern werden oft als konkurrierende Systeme formuliert, die eine andere Darstellung der Gesetze der Logik bieten.[13][15]

In einer technischeren Sprache ausgedrückt, wird die Unterscheidung zwischen erweiterten und abweichenden Logiken manchmal auf eine etwas andere Weise getroffen. Nach dieser Auffassung ist eine Logik eine Erweiterung der klassischen Logik, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind: (1) alle wohlgeformten Formeln der klassischen Logik sind auch wohlgeformte Formeln in ihr und (2) alle gültigen Schlussfolgerungen in der klassischen Logik sind auch gültige Schlussfolgerungen in ihr.[13][15][16] Für eine abweichende Logik hingegen gilt, dass (a) ihre Klasse wohlgeformter Formeln mit der klassischen Logik übereinstimmt, während (b) einige gültige Schlussfolgerungen in der klassischen Logik keine gültigen Schlussfolgerungen in ihr sind.[13][15][17] Der Begriff quasi-abweichende Logik wird verwendet, wenn (i) sie ein neues Vokabular einführt, aber alle wohlgeformten Formeln der klassischen Logik auch wohlgeformte Formeln in ihr sind und (ii) selbst wenn sie auf Schlussfolgerungen beschränkt ist, die nur das Vokabular der klassischen Logik verwenden, einige gültige Schlussfolgerungen in der klassischen Logik keine gültigen Schlussfolgerungen in ihr sind.[13][15] Der Begriff „abweichende Logik“ wird oft in einem Sinne verwendet, der auch quasi-abweichende Logiken einschließt.[13]

Ein philosophisches Problem, das durch diese Vielfalt von Logiken aufgeworfen wird, ist die Frage, ob es mehr als eine wahre Logik geben kann.[13][1] Einige Theoretiker bevorzugen einen lokalen Ansatz, bei dem verschiedene Arten von Logik auf verschiedene Bereiche angewendet werden. Die frühen Intuitionisten betrachteten beispielsweise die intuitionistische Logik als die richtige Logik für die Mathematik, erlaubten aber die klassische Logik in anderen Bereichen.[13][18] Andere wiederum, wie Michael Dummett, bevorzugen einen globalen Ansatz, indem sie die Meinung vertreten, dass die intuitionistische Logik die klassische Logik in jedem Bereich ersetzen sollte.[13][18] Der Monismus ist die These, dass es nur eine wahre Logik gibt.[6] Dies kann auf unterschiedliche Weise verstanden werden, z. B. dass nur eines der vorgeschlagenen logischen Systeme richtig ist oder dass das richtige logische System als ein System, das allen verschiedenen Logiken zugrunde liegt und sie vereint, noch gefunden werden muss.[1] Pluralisten hingegen sind der Ansicht, dass eine Vielzahl verschiedener logischer Systeme gleichzeitig richtig sein können.[19][6][1]

Ein eng damit verbundenes Problem betrifft die Frage, ob alle diese formalen Systeme tatsächlich logische Systeme darstellen.[1][4] Dies gilt insbesondere für abweichende Logiken, die sich sehr weit von den üblichen logischen Intuitionen der klassischen Logik entfernen. In diesem Sinne wurde beispielsweise argumentiert, dass die Fuzzylogik nur dem Namen nach eine Logik ist, aber stattdessen als nicht-logisches formales System betrachtet werden sollte, da die Idee der Wahrheitsgrade zu weit von den grundlegenden logischen Intuitionen entfernt ist.[13][20][4] Es besteht also keine allgemeine Einigkeit darüber, dass alle in diesem Artikel besprochenen formalen Systeme tatsächlich Logiken sind, wenn man dies in einem strengen Sinne versteht.

Klassische Logik

Die klassische Logik ist die vorherrschende Form der Logik, die in den meisten Bereichen verwendet wird.[21] Der Begriff bezieht sich in erster Linie auf die Aussagenlogik und die Logik erster Stufe.[6] Die klassische Logik ist kein eigenständiges Thema innerhalb der philosophischen Logik. Dennoch ist eine gute Vertrautheit mit ihr erforderlich, da viele der logischen Systeme, die für die philosophische Logik von unmittelbarer Bedeutung sind, entweder als Erweiterungen der klassischen Logik verstanden werden können, die deren Grundprinzipien akzeptieren und darauf aufbauen, oder als Modifikationen von ihr, die einige ihrer Kernannahmen ablehnen.[5][14] Die klassische Logik wurde ursprünglich geschaffen, um mathematische Argumente zu analysieren, und wurde erst später auf verschiedene andere Bereiche angewendet.[5] Aus diesem Grund vernachlässigt sie viele Themen von philosophischer Bedeutung, die für die Mathematik nicht relevant sind, wie der Unterschied zwischen Notwendigkeit und Möglichkeit, zwischen Pflicht und Erlaubnis oder zwischen Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft.[5] Diese und ähnliche Themen werden in den verschiedenen philosophischen Logiken, die die klassische Logik erweitern, auf logische Weise behandelt.[14][1][3] Die klassische Logik selbst befasst sich nur mit einigen wenigen Grundbegriffen und der Rolle, die diese Begriffe beim Ziehen gültiger Schlüsse spielen.[22] Zu den Begriffen der Aussagenlogik gehören propositionale Konnektoren wie „und“, „oder“ und „wenn-dann“.[4] Charakteristisch für die klassische Herangehensweise an diese Konnektoren ist, dass sie bestimmten Gesetzen folgen, wie dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten, der Doppelnegationselimination, dem Prinzip ex falso quodlibet und der Bivalenz der Wahrheit.[21] Damit unterscheidet sich die klassische Logik von verschiedenen abweichenden Logiken, die eines oder mehrere dieser Prinzipien verneinen.[13][5]

In der Logik erster Stufe bestehen die Propositionen selbst aus subpropositionalen Teilen wie Prädikaten, singulären Termen und Quantoren.[8][23] Singuläre Terme beziehen sich auf Objekte und Prädikate drücken Eigenschaften von Objekten und Beziehungen zwischen ihnen aus.[8][24] Quantoren stellen eine formale Behandlung von Begriffen wie „für einige“ und „für alle“ dar. Sie können verwendet werden, um auszudrücken, ob Prädikate überhaupt eine Extension haben oder ob ihre Extension die gesamte Domäne umfasst.[25] Im Gegensatz zu Logiken höherer Stufe ist die Quantifizierung nur über individuelle Terme erlaubt, nicht aber über Prädikate.[26][4]

Erweiterte Logiken

Alethisch modal

Die alethische Modallogik ist in der Logik und der Philosophie sehr einflussreich. Sie bietet einen logischen Formalismus, um auszudrücken, was möglicherweise oder notwendigerweise wahr ist.[12][9][27][28][29][30][14] Sie stellt eine Erweiterung der Logik erster Stufe dar, die selbst nur in der Lage ist, auszudrücken, was einfach wahr ist. Diese Erweiterung erfolgt durch die Einführung von zwei neuen Symbolen: „“ für Möglichkeit und „“ für Notwendigkeit. Diese Symbole werden verwendet, um Propositionen zu modifizieren. Wenn beispielsweise „“ für die Proposition „Sokrates ist weise“ steht, dann drückt „“ die Proposition „es ist möglich, dass Sokrates weise ist“ aus. Um diese Symbole in den logischen Formalismus zu integrieren, werden verschiedene Axiome zu den bestehenden Axiomen der Logik erster Stufe hinzugefügt.[27][28][30] Sie regeln das logische Verhalten dieser Symbole, indem sie festlegen, wie die Gültigkeit einer Schlussfolgerung davon abhängt, dass diese Symbole in ihr vorkommen. Sie beinhalten in der Regel die Idee, dass, wenn ein Satz notwendig ist, seine Negation unmöglich ist, d. h. dass „“ äquivalent ist zu „“. Ein weiteres solches Prinzip lautet: Wenn etwas notwendig ist, muss es auch möglich sein. Das bedeutet, dass „“ aus „“ folgt.[27][28][30] Es herrscht Uneinigkeit darüber, genau welche Axiome die Modallogik bestimmen. Die verschiedenen Formen der Modallogik werden oft als eine verschachtelte Hierarchie von Systemen dargestellt, in welcher die grundlegendsten Systeme, wie das System K, nur die fundamentalsten Axiome enthalten, während andere Systeme, wie das populäre System S5, darauf aufbauen, indem sie zusätzliche Axiome einbeziehen.[27][28][30] In diesem Sinne ist das System K eine Erweiterung der Logik erster Stufe, während das System S5 eine Erweiterung des Systems K ist. Wichtige Diskussionen innerhalb der philosophischen Logik betreffen die Frage, welches System der Modallogik richtig ist.[27][28][30] Es ist normalerweise vorteilhaft, ein möglichst starkes System zu haben, um viele verschiedene Schlussfolgerungen ziehen zu können. Dies bringt jedoch das Problem mit sich, dass einige dieser zusätzlichen Schlussfolgerungen in bestimmten Fällen den grundlegenden modalen Intuitionen widersprechen können. Dies motiviert in der Regel die Wahl eines einfacheren Axiomsystems.[27][28][30]

Die Semantik möglicher Welten ist eine sehr einflussreiche formale Semantik in der Modallogik, die das System S5 mit sich bringt.[27][28][30] Eine formale Semantik einer Sprache charakterisiert die Bedingungen, unter denen die Sätze dieser Sprache wahr oder falsch sind. Formale Semantiken spielen eine zentrale Rolle in der modelltheoretischen Konzeption von Gültigkeit.[4][10] Sie sind in der Lage, eindeutige Kriterien dafür zu liefern, wann eine Schlussfolgerung gültig ist oder nicht: Eine Schlussfolgerung ist dann und nur dann gültig, wenn sie wahrheitserhaltend ist, d. h. dass ihre Konklusion wahr ist, wann immer ihre Prämissen wahr sind.[9][10][31] Ob sie wahr oder falsch sind, wird durch die formale Semantik festgelegt. Die Semantik möglicher Welten spezifiziert die Wahrheitsbedingungen von Sätzen, die in der Modallogik ausgedrückt werden, in Bezug auf mögliche Welten.[27][28][30] Eine mögliche Welt ist eine vollständige und konsistente Weise, wie die Dinge hätten sein können.[32][33] Nach dieser Auffassung ist ein durch den -Operator modifizierter Satz wahr, wenn er in mindestens einer möglichen Welt wahr ist, während ein durch den -Operator modifizierter Satz wahr ist, wenn er in allen möglichen Welten wahr ist.[27][28][30] So ist der Satz „“ (es ist möglich, dass Sokrates weise ist) wahr, da es mindestens eine Welt gibt, in der Sokrates weise ist. Aber „“ (es ist notwendig, dass Sokrates weise ist) ist falsch, da Sokrates nicht in jeder möglichen Welt weise ist. Die Semantik möglicher Welten wurde als formale Semantik der Modallogik kritisiert, da sie zirkulär zu sein scheint.[8] Der Grund dafür ist, dass mögliche Welten selbst durch modale Begriffen definiert sind, d. h. als Weisen, wie die Dinge hätten sein können. Auf diese Weise verwendet sie selbst modale Ausdrücke, um die Wahrheit von Sätzen zu bestimmen, die modale Ausdrücke enthalten.[8]

Deontisch

Die deontische Logik erweitert die klassische Logik auf das Gebiet der Ethik.[34][14][35] Von zentraler Bedeutung in der Ethik sind die Begriffe Pflicht und Erlaubnis, also welche Handlungen der Handelnde tun muss oder tun darf. Die deontische Logik drückt diese Ideen normalerweise mit den Operatoren (obligation) und (permission) aus.[34][14][35][27] Wenn also „“ für die Aussage „Ramirez geht joggen“ steht, dann bedeutet „“, dass Ramirez die Pflicht hat, joggen zu gehen, und „“, dass Ramirez die Erlaubnis hat, joggen zu gehen.

Die deontische Logik ist eng mit der alethischen Modallogik verwandt, da die Axiome, die das logische Verhalten ihrer Operatoren bestimmen, identisch sind. Das bedeutet, dass sich Pflicht und Erlaubnis in Bezug auf gültige Schlussfolgerungen genauso verhalten wie Notwendigkeit und Möglichkeit.[34][14][35][27] Aus diesem Grund werden manchmal sogar die gleichen Symbole als Operatoren verwendet.[36] Genau wie in der alethischen Modallogik gibt es auch in der philosophischen Logik eine Diskussion darüber, welches das richtige Axiomsystem ist, um die geläufigen Intuitionen auszudrücken, die für deontische Schlussfolgerungen gelten.[34][14][35] Aber die Argumente und Gegenbeispiele sind hier etwas anders, da die Bedeutungen dieser Operatoren unterschiedlich sind. Eine gängige Intuition in der Ethik ist zum Beispiel, dass der Handelnde, wenn er die Pflicht hat, etwas zu tun, automatisch auch die Erlaubnis hat, es zu tun. Dies kann formal durch das Axiomschema „“ ausgedrückt werden.[34][14][35] Eine weitere für die philosophische Logik interessante Frage betrifft die Beziehung zwischen alethischer Modallogik und deontischer Logik. Ein oft diskutierter Grundsatz in diesem Zusammenhang ist, dass „Sollen Können impliziert“. Das bedeutet, dass der Handelnde nur dann die Pflicht haben kann, etwas zu tun, wenn es ihm möglich ist, es zu tun.[37][38] Formal ausgedrückt: „“.[34]

Temporal

Die temporale Logik, auch Zeitlogik genannt, verwendet logische Mechanismen, um zeitliche Beziehungen auszudrücken.[39][14][35][40] In ihrer einfachsten Form enthält sie einen Operator, um auszudrücken, dass etwas zu einem bestimmten Zeitpunkt geschehen ist, und einen anderen, um auszudrücken, dass etwas die ganze Zeit passiert. Diese beiden Operatoren verhalten sich genauso wie die Operatoren für Möglichkeit und Notwendigkeit in der alethischen Modallogik. Da der Unterschied zwischen Vergangenheit und Zukunft für menschliche Angelegenheiten von zentraler Bedeutung ist, werden diese Operatoren häufig modifiziert, um diesen Unterschied zu berücksichtigen. Die temporale Logik von Arthur Prior zum Beispiel setzt diese Idee mit vier solchen Operatoren um: (es war der Fall, dass...), (es wird der Fall sein, dass...), (es ist immer der Fall gewesen, dass...) und (es wird immer der Fall sein, dass...).[39][14][35][40] Um also auszudrücken, dass es in London immer regnerisch sein wird, könnte man also „“ verwenden. Verschiedene Axiome werden verwendet, um zu bestimmen, welche Schlussfolgerungen in Abhängigkeit von den in ihnen vorkommenden Operatoren gültig sind. Nach ihnen kann man zum Beispiel „“ (es wird irgendwann in London regnerisch sein) aus „“ ableiten. In komplizierteren Formen der temporalen Logik werden auch binäre Operatoren definiert, die zwei Propositionen verbinden, um beispielsweise auszudrücken, dass etwas so lange passiert, bis etwas anderes passiert.[39]

Die temporale Modallogik lässt sich in die klassische Logik erster Stufe übersetzen, indem man die Zeit in Form eines singulären Terms behandelt und die Stelligkeit der Prädikate um eins erhöht.[40] Zum Beispiel kann der temporal-logische Satz „“ (es ist dunkel, es war hell, und es wird wieder hell sein) in die reine Logik erster Stufe übersetzt werden als „“.[41] Während ähnliche Ansätze häufig in der Physik zu finden sind, bevorzugen Logiker in der Regel eine autonome Behandlung der Zeit in Form von Operatoren. Diese Herangehensweise steht den natürlichen Sprachen näher, die meist die Grammatik verwenden, um die Vergangenheit oder Zukunft von Ereignissen auszudrücken, z. B. durch die Konjugation von Verben.[40]

Epistemisch

Die epistemische Logik ist eine Form der Modallogik, die auf das Gebiet der Erkenntnistheorie angewendet wird.[42][43][35][9] Sie zielt darauf ab, die Logik von Wissen und Glaube zu erfassen. Die Modaloperatoren, die Wissen und Glaube ausdrücken, werden gewöhnlich durch die Symbole „“ (knows) und „“ (believes) ausgedrückt. Wenn also „“ für die Aussage „Sokrates ist weise“ steht, dann drückt „“ die Aussage „die Person weiß, dass Sokrates weise ist“ aus und „“ drückt die Aussage „die Person glaubt, dass Sokrates weise ist“ aus. Axiome, die diese Operatoren regeln, werden dann formuliert, um verschiedene erkenntnistheoretische Prinzipien auszudrücken.[35][42][43] Beispielsweise drückt das Axiomschema „“ aus, dass, wann immer etwas gewusst wird, es auch wahr ist. Dies spiegelt die Vorstellung wider, dass man nur wissen kann, was wahr ist, andernfalls ist es kein Wissen, sondern ein anderer mentaler Zustand.[35][42][43] Eine weitere erkenntnistheoretische Intuition in Bezug auf Wissen betrifft die Tatsache, dass die Person, wenn sie etwas weiß, auch weiß, dass sie es weiß. Dies kann durch das Axiomschema „“ ausgedrückt werden.[35][42][43] Ein zusätzliches Prinzip, das Wissen und Glaube miteinander verbindet, besagt, dass Wissen Glaube impliziert, also „“. Die dynamische epistemische Logik ist eine eigenständige Form der epistemischen Logik, die sich auf Situationen konzentriert, in denen sich Glaube und Wissen verändern.[44]

Höhere Stufe

Logiken höherer Stufe erweitern die Logik erster Stufe durch neue Formen der Quantifizierung.[12][26][45][46] In der Logik erster Stufe ist die Quantifizierung auf singuläre Terme beschränkt. Sie kann verwendet werden, um darüber zu sprechen, ob ein Prädikat überhaupt eine Extension hat oder ob seine Extension die gesamte Domäne umfasst. Auf diese Weise können Aussagen wie „“ (es gibt einige Äpfel, die süß sind) ausgedrückt werden. In Logiken höherer Stufe ist die Quantifizierung nicht nur über Individualbegriffe, sondern auch über Prädikate erlaubt. Auf diese Weise lässt sich beispielsweise ausdrücken, ob bestimmte Individuen einige oder alle ihre Prädikate gemeinsam haben, wie in „“ (es gibt einige Eigenschaften, die Mary und John gemeinsam haben).[12][26][45][46] Aufgrund dieser Änderungen haben Logiken höherer Stufe eine größere Ausdruckskraft als Logiken erster Stufe. Dies kann für die Mathematik auf unterschiedliche Weise hilfreich sein, da sich verschiedene mathematische Theorien in der Logik höherer Stufe viel einfacher ausdrücken lassen als in der Logik erster Stufe.[12] Beispielsweise benötigen die Peano-Arithmetik und die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre eine unendliche Anzahl von Axiomen, um in der Logik erster Stufe ausgedrückt zu werden. Sie können jedoch in der Logik zweiter Stufe mit nur wenigen Axiomen ausgedrückt werden.[12]

Doch trotz dieses Vorteils ist die Logik erster Stufe immer noch viel weiter verbreitet als die Logik höherer Stufe. Ein Grund hierfür ist, dass die Logik höherer Stufe unvollständig ist.[12] Das bedeutet, dass es für Theorien, die in der Logik höherer Stufe formuliert sind, nicht möglich ist, jeden wahren Satz zu beweisen, der zu der betreffenden Theorie gehört.[4] Ein weiterer Nachteil hängt mit den zusätzlichen ontologischen Verpflichtungen der Logik höherer Stufe zusammen. Es wird oft angenommen, dass die Verwendung des Existenzquantors eine ontologische Verpflichtung gegenüber den Entitäten mit sich bringt, auf die sich dieser Quantor erstreckt.[9][47][48][49] In der Logik erster Stufe betrifft dies nur Individuen, was üblicherweise als unproblematische ontologische Verpflichtung angesehen wird. In der Logik höherer Stufe betrifft die Quantifizierung auch Eigenschaften und Beziehungen.[9][26][6] Dies wird oft so interpretiert, dass die Logik höherer Stufe eine Form des Platonismus mit sich bringt, d. h. die Ansicht, dass neben Individuen auch universelle Eigenschaften und Relationen existieren.[12][45]

Abweichende Logiken

Intuitionistisch

Die intuitionistische Logik ist eine eingeschränkte Version der klassischen Logik.[18][50][14] Sie ist insofern eingeschränkt, als bestimmte Schlussregeln, die in der klassischen Logik verwendet werden, keine gültigen Schlussfolgerungen in ihr darstellen. Dies betrifft insbesondere den Satz vom ausgeschlossenen Dritten und die Doppelnegationselimination.[18][50][14] Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten besagt, dass für jede Proposition entweder sie oder ihre Negation wahr ist. Formal ausgedrückt: . Das Gesetz der Doppelnegationselimination besagt, dass wenn ein Satz nicht nicht wahr ist, er wahr ist, d. h. „“.[18][14] Aufgrund dieser Einschränkungen werden viele Beweise komplizierter und einige ansonsten akzeptierte Beweise werden unmöglich.[50]

Diese Modifikationen der klassischen Logik sind durch die Idee motiviert, dass Wahrheit von der Verifikation durch einen Beweis abhängt. Das wurde dahingehend interpretiert, dass „wahr“ überprüfbar bedeutet.[50][14] Diese Idee wurde ursprünglich nur auf das Gebiet der Mathematik angewendet, wird aber seitdem auch in anderen Gebieten verwendet.[18] Nach dieser Interpretation würde der Satz vom ausgeschlossenen Dritten die Annahme beinhalten, dass jedes mathematische Problem eine Lösung in Form eines Beweises hat. In diesem Sinne ist die intuitionistische Ablehnung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten durch die Ablehnung dieser Annahme motiviert.[18][14] Diese Position kann auch durch die Aussage ausgedrückt werden, dass es keine unerfahrbaren oder verifikationstranszendenten Wahrheiten gibt.[50] In diesem Sinne ist die intuitionistische Logik durch eine Form des metaphysischen Idealismus motiviert. Angewandt auf die Mathematik besagt sie, dass mathematische Objekte nur in dem Maße existieren, in dem sie im Geist konstruiert werden.[50]

Frei

Die freie Logik lehnt einige der existenziellen Voraussetzungen ab, die in der klassischen Logik zu finden sind.[51][52][53] In der klassischen Logik muss jeder singuläre Term ein Objekt in der Domäne der Quantifizierung bezeichnen.[51] Dies wird üblicherweise als ontologische Verpflichtung zur Existenz der bezeichneten Entität verstanden. Im alltäglichen Sprachgebrauch werden jedoch viele Namen verwendet, die sich nicht auf existierende Entitäten beziehen, wie „Weihnachtsmann“ oder „Pegasus“. Damit besteht die Gefahr, dass solche Diskursbereiche von einer streng logischen Behandlung ausgeschlossen werden. Die freie Logik vermeidet diese Probleme, indem sie Formeln mit nicht bezeichnenden singulären Termen zulässt.[52] Dies gilt sowohl für Eigennamen als auch für definite Kennzeichnungen und funktionale Ausdrücke.[51][53] Quantoren hingegen werden in der üblichen Weise behandelt, also so, dass sie sich über die Domäne erstrecken. Das ermöglicht, dass Ausdrücke wie „“ (Der Weihnachtsmann existiert nicht) wahr sind, obwohl sie in der klassischen Logik widersprüchlich sind.[51] Dies hat auch zur Folge, dass bestimmte in der klassischen Logik gültige Schlussformen in der freien Logik nicht gültig sind. In der klassischen Logik, aber nicht in der freien Logik, kann man zum Beispiel aus „“ (der Weihnachtsmann hat einen Bart) schließen, dass „“ (etwas hat einen Bart).[51] In der freien Logik wird oft ein Existenzprädikat verwendet, um anzugeben, ob ein singulärer Term ein Objekt in der Domäne bezeichnet oder nicht. Die Verwendung von Existenzprädikaten ist jedoch umstritten. Sie werden oft mit der Begründung abgelehnt, dass die Existenz eines Objekts Voraussetzung dafür ist, dass überhaupt Prädikate auf das Objekt zutreffen. In diesem Sinne kann die Existenz nicht selbst ein Prädikat sein.[9][54][55]

Karel Lambert, der den Begriff „freie Logik“ geprägt hat, hat vorgeschlagen, dass die freie Logik als eine Verallgemeinerung der klassischen Prädikatenlogik verstanden werden kann, ebenso wie die Prädikatenlogik eine Verallgemeinerung der aristotelischen Logik ist. Nach dieser Auffassung führt die klassische Prädikatenlogik Prädikate mit einer leeren Extension ein, während die freie Logik singuläre Terme von nicht existierenden Dingen einführt.[51]

Ein wichtiges Problem der freien Logik besteht darin, den Wahrheitswert von Ausdrücken mit leeren singulären Termen zu bestimmen, d. h. eine formale Semantik für die freie Logik zu formulieren.[56] Die formale Semantik der klassischen Logik kann den Wahrheitswert ihrer Ausdrücke anhand ihrer Denotation bestimmen. Diese Option kann jedoch nicht auf alle Ausdrücke in der freien Logik angewendet werden, da nicht alle von ihnen eine Denotation haben.[56] In der Literatur werden häufig drei allgemeine Ansätze zu diesem Thema diskutiert: negative Semantik, positive Semantik und neutrale Semantik. Die negative Semantik besagt, dass alle atomaren Formeln, die leere Terme enthalten, falsch sind. Nach dieser Auffassung ist der Ausdruck „“ falsch.[56][53] Die positive Semantik erlaubt es, dass zumindest einige Ausdrücke mit leeren Termen wahr sind. Dazu gehören in der Regel Identitätsaussagen, wie „“. Einige Versionen führen eine zweite, äußere Domäne für nicht existierende Objekte ein, die dann verwendet wird, um die entsprechenden Wahrheitswerte zu bestimmen.[56][53] Die neutrale Semantik hingegen besagt, dass atomare Formeln, die leere Terme enthalten, weder wahr noch falsch sind.[56][53] Dies wird oft als dreiwertige Logik verstanden, d. h. dass für diese Fälle ein dritter Wahrheitswert neben wahr und falsch eingeführt wird.[57]

Mehrwertig

Mehrwertige Logiken sind Logiken, die mehr als zwei Wahrheitswerte zulassen.[58][14][59] Sie lehnen eine der Kernannahmen der klassischen Logik ab: das Prinzip der Bivalenz der Wahrheit. Die einfachsten Versionen mehrwertiger Logiken sind dreiwertige Logiken: Sie enthalten einen dritten Wahrheitswert. In der dreiwertigen Logik von Stephen Cole Kleene zum Beispiel ist dieser dritte Wahrheitswert „unbestimmt“.[58][59] Gemäß der vierwertigen Logik von Nuel Belnap gibt es vier mögliche Wahrheitswerte: „wahr“, „falsch“, „weder wahr noch falsch“, und „sowohl wahr als auch falsch“. Dies kann beispielsweise in Bezug darauf interpretiert werden, welche Informationen man darüber hat, ob ein Zustand besteht: Informationen, dass er besteht, Informationen, dass er nicht besteht, keine Informationen oder widersprüchliche Informationen.[58] Eine der extremsten Formen der mehrwertigen Logik ist die Fuzzylogik. Sie lässt zu, dass Wahrheit in einem beliebigen Grad zwischen 0 und 1 auftritt.[60][58][14] 0 entspricht völlig falsch, 1 entspricht völlig wahr, und die Werte dazwischen entsprechen der Wahrheit in einem gewissen Grad, z. B. als ein wenig wahr oder sehr wahr.[60][58] Sie wird häufig verwendet, um mit vagen Ausdrücken in der natürlichen Sprache umzugehen. Zum Beispiel passt die Aussage „Petr ist jung“ besser (also ist „wahrer“), wenn „Petr“ sich auf einen Dreijährigen bezieht, als wenn es sich auf einen 23-Jährigen bezieht.[60] Mehrwertige Logiken mit einer endlichen Anzahl von Wahrheitswerten können ihre logischen Verknüpfungen mit Hilfe von Wahrheitstabellen definieren, genau wie die klassische Logik. Der Unterschied besteht darin, dass diese Wahrheitstabellen komplexer sind, da mehr mögliche Ein- und Ausgaben berücksichtigt werden müssen.[58][59] In Kleenes dreiwertiger Logik beispielsweise führen die Eingaben „wahr“ und „unbestimmt“ für den Konjunktionsoperator „“ zur Ausgabe „unbestimmt“. Die Eingaben „falsch“ und „unbestimmt“ ergeben dagegen „falsch“.[61][59]

Parakonsistent

Parakonsistente Logiken sind logische Systeme, die mit Widersprüchen umgehen können, ohne zu völliger Absurdität zu führen.[62][14][63] Sie erreichen dies, indem sie das Prinzip ex falso quodlibet vermeiden, das in der klassischen Logik zu finden ist. Nach diesem Prinzip folgt aus einem Widerspruch alles. Dies liegt an zwei Schlussregeln, die in der klassischen Logik gelten: Disjunktionseinführung und disjunktiver Syllogismus.[62][14][63] Gemäß der Disjunktionseinführung kann jede Proposition in Form einer Disjunktion eingeführt werden, wenn sie mit einer wahren Proposition gepaart wird.[64] Da es also wahr ist, dass „die Sonne größer als der Mond ist“, kann man daraus schließen, dass „die Sonne größer als der Mond ist oder Spanien von Weltraumkaninchen kontrolliert wird“. Nach dem disjunktiven Syllogismus kann man schließen, dass einer dieser Disjunkte wahr ist, wenn der andere falsch ist.[64] Wenn also das logische System auch die Negation dieser Proposition enthält, nämlich dass „die Sonne nicht größer als der Mond ist“, dann ist es möglich, aus diesem System jede Proposition abzuleiten, wie die Proposition, dass „Spanien von Weltraumkaninchen kontrolliert wird“. Parakonsistente Logiken vermeiden dies, indem sie andere Schlussregeln verwenden, welche Schlussfolgerungen nach dem Prinzip ex falso quodlibet ungültig machen.[62][14][63]

Eine wichtige Motivation für die Verwendung parakonsistenter Logiken ist der Dialetheismus, d. h. der Glaube, dass Widersprüche nicht nur aufgrund von Fehlern in Theorien eingeführt werden, sondern dass die Realität selbst widersprüchlich ist und Widersprüche innerhalb von Theorien erforderlich sind, um die Realität genau widerzuspiegeln.[63][65][62][66] Ohne parakonsistente Logik wäre der Dialetheismus hoffnungslos, da alles sowohl wahr als auch falsch wäre.[66] Parakonsistente Logiken machen es möglich, Widersprüche lokal zu halten, ohne das ganze System zu sprengen.[14] Aber selbst mit dieser Anpassung ist der Dialetheismus immer noch sehr umstritten.[63][66] Eine weitere Motivation für die parakonsistente Logik besteht darin, eine Logik für Diskussionen und Gruppenüberzeugungen bereitzustellen, bei denen die Gruppe als Ganzes widersprüchliche Überzeugungen haben kann, wenn ihre verschiedenen Mitglieder unterschiedlicher Meinung sind.[63]

Relevanz

Die Relevanzlogik ist eine Art von parakonsistenter Logik. Als solche vermeidet sie auch das Prinzip ex falso quodlibet, obwohl dies normalerweise nicht die Hauptmotivation hinter der Relevanzlogik ist. Stattdessen wird sie normalerweise mit dem Ziel formuliert, bestimmte unintuitive Anwendungen der materialen Implikation in der klassischen Logik zu vermeiden.[67][14][68] Die klassische Logik definiert die materiale Implikation in rein wahrheitsfunktionalen Begriffen, d. h. „“ ist falsch, wenn „“ wahr und „“ falsch ist, aber ansonsten ist sie in jedem Fall wahr. Nach dieser formalen Definition spielt es keine Rolle, „“ und „“ in irgendeiner Weise füreinander relevant sind.[67][14][68] Zum Beispiel ist die materiale Implikation „wenn alle Zitronen rot sind, dann gibt es einen Sandsturm im Sydney Opera House“ wahr, obwohl die beiden Aussagen nicht füreinander relevant sind.

Die Tatsache, dass diese Verwendung von materialen Implikationen höchst unintuitiv ist, spiegelt sich auch in der informalen Logik wider, die solche Schlussfolgerungen als Fehlschlüsse der Relevanz einstuft. Die Relevanzlogik versucht, diese Fälle zu vermeiden, indem sie verlangt, dass für eine wahre materiale Implikation ihr Vordersatz für ihren Folgesatz relevant sein muss.[67][14][68] Eine Schwierigkeit dabei ist, dass die Relevanz normalerweise zum Inhalt der Sätze gehört, während sich die Logik nur mit formalen Aspekten befasst. Dieses Problem wird teilweise durch das Prinzip der gemeinsamen Variablen (variable sharing principle) angegangen. Es besagt, dass der Vordersatz und der Folgesatz eine propositionale Variable gemeinsam haben müssen.[67][68][14] Dies wäre zum Beispiel bei „“ der Fall, nicht aber bei „“. Ein eng verwandtes Anliegen der Relevanzlogik ist, dass Schlussfolgerungen der gleichen Relevanzanforderung gerecht werden müssen, d. h. dass es eine notwendige Voraussetzung für gültige Schlussfolgerungen ist, dass ihre Prämissen für ihre Konklusion relevant sind.[67]

Siehe auch

Abschnitt Philosophische Logiken im Hauptartikel Logik, siehe: Philosophische Logiken.

Literatur

Einzelnachweise

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