Orbifaltigkeit

In der Topologie ist eine Orbifaltigkeit (englisch: Orbifold) eine Verallgemeinerung einer Mannigfaltigkeit.

Definition

Wie auch eine Mannigfaltigkeit wird eine Orbifaltigkeit durch lokale Eigenschaften beschrieben. Anders als eine Mannigfaltigkeit, die lokal eine offene Teilmenge des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ darstellt, wird eine Orbifaltigkeit lokal durch Quotienten von offenen Teilmengen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ nach endlichen Gruppenoperationen beschrieben.

Eine ${\displaystyle n}$-dimensionale Orbifaltigkeit ist ein topologischer Hausdorff-Raum ${\displaystyle X}$, den man den unterliegenden Raum nennt, mit einer Überdeckung durch offene Teilmengen ${\displaystyle U_{i}}$, die abgeschlossen ist unter endlichen Schnitten. Für jedes ${\displaystyle U_{i}}$ gibt es:

• eine offene Teilmenge ${\displaystyle V_{i}}$ des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, welche invariant unter einer treuen endlichen Gruppenoperation ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ ist;
• eine stetige Abbildung ${\displaystyle \phi _{i}}$ von ${\displaystyle V_{i}}$ nach ${\displaystyle U_{i}}$, die invariant unter ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ ist, auch Karte der Orbifaltigkeit genannt.

Eine Menge von Karten nennt man einen Atlas der Orbifaltigkeit, wenn folgendes gegeben ist

• Für jede Inklusion ${\displaystyle U_{i}\subset U_{j}}$ gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle f_{ij}\colon \Gamma _{i}\rightarrow \Gamma _{j}}$ und einen ${\displaystyle f_{ij}}$-äquivarianten Homöomorphismus ${\displaystyle \psi _{ij}}$ von ${\displaystyle V_{i}}$ auf eine offene Teilmenge von ${\displaystyle V_{j}}$ (auch als Verklebeabbildung bezeichnet), der mit den Karten kompatibel ist, d. h.

${\displaystyle \phi _{j}\psi _{ij}=\phi _{i}}$.

Die Verklebeabbildung soll bis auf Translation eindeutig sein, d. h. zu zwei Verklebeabbildungen ${\displaystyle \psi _{ij},\psi _{ij}^{\prime }}$ soll es ein ${\displaystyle g\in \Gamma _{j}}$ mit ${\displaystyle \psi _{ij}^{\prime }=g\psi _{ij}}$ geben.

Beispiele

• Ein einfaches Beispiel ist eine Identifizierungstopologie für eine Gruppenwirkung mit Fixpunkten. Es sei der reelle Zahlenstrahl ${\displaystyle \mathbb {R} }$ durch die Koordinate ${\displaystyle x}$ parametrisiert. Nun entsteht durch die Identifizierung ${\displaystyle x\sim -x}$ ein Fixpunkt in ${\displaystyle x=0}$. Der durch Identifizierung entstehende Quotientenraum ist das einfachste Beispiel einer Orbifaltigkeit.
• Orbifaltigkeiten, die durch Quotientenbildung aus der Wirkung einer endlichen Gruppe auf einer Mannigfaltigkeit entstehen, heißen gute Orbifaltigkeiten.

Anwendung in der Stringtheorie

Wenn die 10+1-dimensionale heterotische Stringtheorie mit einer unterliegenden Mannigfaltigkeit kompaktifiziert wird, ist man meistens daran interessiert, wann man für ${\displaystyle N=1}$ eine supersymmetrische Theorie in vier Dimensionen erhält. Sind einige Annahmen gegeben, ergibt sich, dass diese unterliegenden Mannigfaltigkeiten Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten sein müssen. Weil die explizite Metrik für fast alle Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten nicht bekannt ist, versucht man Orbifaltigkeiten zu konstruieren, die ein Limes der jeweiligen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten sind, wobei hier die Metrik explizit bekannt ist.

Literatur

• William Thurston: The Geometry and Topology of Three-Manifolds (Chapter 13), Princeton University lecture notes 1980. PDF
• Barton Zwiebach: A First Course in String Theory, Cambridge University Press 2004, ISBN 0521831431
• Katrin Becker, Melanie Becker und John H. Schwarz: String Theory and M-Theory, A modern introduction, Cambridge University Press 2006, ISBN 0521860695
• Suhyoung Choi: Geometric structures on orbifolds and holonomy representations. Geom. Dedicata 104 (2004), 161–199.