Null-Eins-Gesetz von Hewitt-Savage

Das 0-1-Gesetz von Hewitt-Savage ist ein Satz der Wahrscheinlichkeitstheorie, der wie alle Null-Eins-Gesetze Aussagen darüber trifft, wann ein Ereignis fast sicher (also mit Wahrscheinlichkeit 1) eintritt oder fast unmöglich ist (also Wahrscheinlichkeit 0 besitzt).

Aussage

Gegeben sei eine Folge von unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ und ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ die austauschbare σ-Algebra der Folge. Dann ist ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ P-trivial, es ist also für jedes Ereignis ${\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}$ entweder ${\displaystyle P(E)=0}$ oder ${\displaystyle P(E)=1}$.

Herleitung

Die Herleitung basiert auf dem Kolmogorowschen Null-Eins-Gesetz. Dieses besagt, dass die terminale σ-Algebra einer Folge von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen immer P-trivial ist. Da aber unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen immer auch austauschbare Familie von Zufallsvariablen sind, gilt dann auch für jedes austauschbare Ereignis ${\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}$, dass ein terminales Ereignis ${\displaystyle B\in {\mathcal {T}}}$ existiert, so dass ${\displaystyle P(E\,\triangle \,B)=0}$ gibt. Daraus folgt die Aussage.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 242, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.