Lorentz-Faktor

Der dimensionslose Lorentz-Faktor ${\displaystyle \gamma }$ (gamma) beschreibt in der speziellen Relativitätstheorie die Zeitdilatation sowie den Kehrwert der Längenkontraktion bei der Koordinatentransformation zwischen relativ zueinander bewegten Inertialsystemen. Er wurde von Hendrik Antoon Lorentz im Rahmen der von ihm ausgearbeiteten Lorentz-Transformation entwickelt, die die mathematische Grundlage der speziellen Relativitätstheorie bildet.

Wenn die Geschwindigkeit so hoch ist, dass sie einige Prozent der Lichtgeschwindigkeit beträgt („relativistische Geschwindigkeit“), weicht der Lorentz-Faktor signifikant von Eins ab und relativistische Effekte müssen berücksichtigt werden.

Der Lorentz-Faktor ist definiert als:

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}}$

• ${\displaystyle v}$ bezeichnet die Relativgeschwindigkeit zweier Bezugssysteme.
• Die Lichtgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$ ist eine vom Bezugssystem unabhängige Naturkonstante.

Zur Vereinfachung von Formeln gibt man die Relativgeschwindigkeit oft als Bruchteil ${\displaystyle \beta }$ der Lichtgeschwindigkeit an. Mit

${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}}$

schreibt sich der Lorentz-Faktor als

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$.

Für relativ zueinander ruhende Bezugssysteme gilt

${\displaystyle \left.{\begin{array}{c}v=0\\\beta =0\end{array}}\right\rbrace \ \Rightarrow \;\gamma =1}$.

Ist ${\displaystyle v\neq 0}$, aber klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit, also

${\displaystyle v\ll c\ \ {\text{bzw.}}\ \ \beta \ll 1}$,

so wird durch eine Taylor-Entwicklung

${\displaystyle \gamma =1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}+{\frac {3}{8}}\beta ^{4}+{\mathcal {O}}\left(\beta ^{6}\right)}$.

In welcher Ordnung die Entwicklung in der klassischen Physik abgebrochen werden kann, ist nicht allgemein zu beantworten. Für die meisten Anwendungen kann ${\displaystyle \gamma }$ als konstant Eins angenommen werden, für die kinetische Energie entspricht die Entwicklung bis zur ersten Ordnung (${\displaystyle \beta ^{2}}$) dem Wert der newtonschen Physik, denn ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\beta ^{2}\cdot mc^{2}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$.

Der Lorentz-Faktor lässt sich angeben als:

${\displaystyle \gamma ={\frac {E_{\mathrm {kin} }}{E_{0}}}+1={\frac {E_{\mathrm {gesamt} }}{E_{0}}}}$

mit

• der kinetischen Energie ${\displaystyle E_{\mathrm {kin} }}$ des betrachteten Objektes
• seiner Ruheenergie ${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$ und
• der gesamten Energie ${\displaystyle E_{\mathrm {gesamt} }=E_{0}+E_{\mathrm {kin} }}$.

Der Lorentz-Faktor lässt sich auch angeben als:

${\displaystyle {\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}}$

und als

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {\vec {p}}{mc}}\right)^{2}}}}$

mit

• dem relativistischen Dreierimpuls ${\displaystyle {\vec {p}}}$ des betrachteten Objektes
• seiner Masse ${\displaystyle m\,}$^[1]

Diese Schreibweise ist vor allem in der theoretischen Physik zu finden.

Der Nachweis der Äquivalenz lässt sich über eine Gleichsetzung mit dem „normalen“ Lorentz-Faktor erbringen, bei der sich der relativistische Impuls ergibt.

${\displaystyle {\vec {p}}^{2}=\underbrace {(\gamma ^{2}-1)\cdot c^{2}} _{\left({\frac {1}{1-\beta ^{2}}}-{\frac {1-\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}\right)c^{2}=\beta ^{2}c^{2}\gamma ^{2}}\!\!\cdot m^{2}=\gamma ^{2}v^{2}m^{2}}$

Die zeitliche Ableitung von ${\displaystyle \gamma }$ ist interessant, um die relativistische Form des zweiten newtonschen Gesetzes ${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}$ für Beschleunigungen in Bewegungsrichtung zu formulieren, da die relativistisch korrekte Beziehung ${\displaystyle {\vec {F}}={\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {p}}}$ über den Impuls lautet.

Aus ${\displaystyle {\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}}$ folgt direkt:

${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {v}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\gamma +\gamma m{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {v}}+\underbrace {\gamma {\vec {v}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}m} _{=0}.}$

Der dritte Summand ist null, weil die Masse sich bei Beschleunigung nicht ändert.^[1] Mit der zeitlichen Ableitung des Lorentz-Faktors

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\gamma =\gamma ^{3}{\frac {\vec {v}}{c}}\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\vec {v}}{c}}}$

erhält man die folgende Beziehung zwischen Kraft und Beschleunigung:^[2]

${\displaystyle {\vec {F}}=m\gamma ^{3}\left({\frac {\vec {v}}{c}}\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\vec {v}}{c}}\right){\vec {v}}+\gamma m{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {v}}\,.}$

1. ↑ ^{a b} Wie in der deutschen Wikipedia generell üblich verwenden wir nicht das Konstrukt der relativistischen Masse.
2. ↑ Thorsten Fließbach: Mechanik. 6. Auflage. Spektrum, Heidelberg 2013, S. 327.