Lobatschewski-Funktion
Die Lobatschewski-Funktion (engl.: Lobachevsky function) ist eine eng mit der Clausen-Funktion und dem Dilogarithmus zusammenhängende spezielle Funktion der Mathematik. Die Bezeichnung geht auf John Milnor zurück, Lobatschewski hatte ähnliche Funktionen zur Berechnung hyperbolischer Volumina verwendet.
Definition
Die Lobatschewski-Funktion ist definiert als Integral
Eigenschaften
Die Lobatschewski-Funktion ist stetig, periodisch mit Periode und eine ungerade Funktion. Sie hat eine gleichmäßig konvergierende Fourier-Reihe
- .
Ihre Ableitungen sind
- .
Man hat die Funktionalgleichung
für alle ganzen Zahlen .
Für gilt
- ,
ist also der imaginärteil des (klassischen) Dilogarithmus von . Der Zusammenhang mit dem Bloch-Wigner-Dilogarithmus ergibt sich durch die Gleichung
- .
Volumen hyperbolischer Simplizes
Ein ideales Simplex im 3-dimensionalen hyperbolischen Raum wird durch seine sechs Kantenwinkel bestimmt, wobei gegenüberliegende Winkel gleich groß sind und die drei nicht gegenüberliegenden Winkel die Gleichung erfüllen. Das Volumen des idealen Simplex kann mittels der Lobatschewski-Funktion berechnet werden:
- .
Mit Hilfe dieser Formel ergeben sich zahlreiche andere die Lobatschewski-Funktion verwendende Formeln für Volumina hyperbolischer Polyeder.
Literatur
- John Milnor: Hyperbolic geometry: the first 150 years. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 6 (1982), no. 1, 9–24. online
- J. G. Ratcliffe, Foundations of hyperbolic manifolds (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 149, Springer, 2006.
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Lobatschewski-Funktion. Gezeigt wird die bei 500 abgebrochene Reihe, d.h. 0,5 * sum (n=1 bis 500, sin(2n*x)/n^2)