Linearform

Eine Linearform ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Es handelt sich dabei um eine lineare Abbildung von einem Vektorraum in den zugrundeliegenden Körper.

Im Kontext der Funktionalanalysis, das heißt im Falle eines topologischen ${\displaystyle \mathbb {R} }$- oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Vektorraums, sind die betrachteten Linearformen meistens stetige lineare Funktionale.

Definition

Es sei ${\displaystyle K}$ ein Körper und ${\displaystyle V}$ ein ${\displaystyle K}$-Vektorraum. Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon V\to K}$ heißt Linearform, wenn für alle Vektoren ${\displaystyle x,y\in V}$ und Skalare ${\displaystyle \alpha \in K}$ gilt:

1. ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$ (Additivität);
2. ${\displaystyle f(\alpha x)=\alpha f(x)}$ (Homogenität).

Die Menge aller Linearformen über einem gegebenen Vektorraum ${\displaystyle V}$ bildet dessen Dualraum ${\displaystyle V^{*}}$ und damit selbst wieder in natürlicher Weise einen ${\displaystyle K}$-Vektorraum.

Eigenschaften

Allgemeine Eigenschaften für Linearformen sind zum Beispiel:

• Wie jede lineare Abbildung sind sie durch ihre Werte für eine beliebige Basis von ${\displaystyle V}$ vollständig bestimmt.
• Sie sind entweder trivial (überall identisch ${\displaystyle 0_{K}}$) oder surjektiv.
• Haben zwei von ihnen gleiche Kerne, so unterscheiden sie sich nur durch die Multiplikation mit einem Skalar.

Speziell für lineare Funktionale gilt außerdem:

• Sie sind genau dann stetig wenn ihr Kern abgeschlossen ist.
• Ihr absoluter Betrag ist stets eine Halbnorm auf ${\displaystyle V}$.
• Lineare Funktionale ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} }$ sind genau die Abbildungen ${\displaystyle x\mapsto \langle v,x\rangle }$, wobei ${\displaystyle v\in \mathbb {K} ^{n}}$ einen Vektor und ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ das Standardskalarprodukt bezeichnen.

Linearform als Tensor

Eine Linearform ${\displaystyle f}$ ist ein kovarianter Tensor erster Stufe; man nennt sie deshalb manchmal auch 1-Form. 1-Formen bilden die Grundlage für die Einführung von Differentialformen.

Verwandte Begriffe

Gilt speziell ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ und ändert man die zweite Bedingung in ${\displaystyle f(\alpha x)={\overline {\alpha }}f(x)}$ ab, wobei ${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$ das komplex Konjugierte von ${\displaystyle \alpha }$ bezeichnet, erhält man eine Semilinearform.

Eine Abbildung, die linear oder semilinear in mehr als einem Argument ist, ist eine Sesquilinearform, eine Bilinearform, oder allgemein eine Multilinearform.

Literatur

• Linear form. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 

• Eberhard Oeljeklaus, Reinhold Remmert: Lineare Algebra I (= Heidelberger Taschenbücher. Band 150). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1974, ISBN 3-540-06715-9 (MR0366944). 
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 5., erw. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Berlin 2005, ISBN 3-540-21381-3. 
• Harro Heuser: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8351-0026-8 (MR2380292). 
• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger. 16., überarbeitete und erweiterte Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0428-0, S. 280–281. 
• Walter Rudin: Functional Analysis, 2nd Ed., McGraw-Hill Inc., New York, 1991