Lineare Funktion
Als lineare Funktion wird oft (insbesondere in der Schulmathematik) eine Funktion der Form
also eine Polynomfunktion höchstens ersten Grades bezeichnet.
Es handelt sich dabei jedoch nicht um eine lineare Abbildung im Sinne der linearen Algebra, sondern um eine affine Abbildung, da die Linearitätsbedingung im Allgemeinen nicht erfüllt ist. Man spricht deswegen auch von einer affin-linearen Funktion. Um eine lineare Abbildung bzw. lineare Funktion im Sinne der linearen Algebra handelt es sich nur im Spezialfall , also Solche Funktionen werden auch als homogene lineare Funktion oder Proportionalität bezeichnet. In Anlehnung an diese Bezeichnung wird die Funktion für den Fall auch allgemeine lineare Funktion oder linear-inhomogene Funktion genannt. In diesem Artikel wird die häufig verwendete Bezeichnung lineare Funktion beibehalten.
Lineare Funktionen gehören zu den relativ einfachen Funktionen in der Mathematik. Sie sind stetig und differenzierbar. Viele Probleme lassen sich für lineare Funktionen leicht lösen; daher versucht man oft, komplizierte Problemstellungen durch lineare Zusammenhänge zu approximieren.
Graph
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. In kartesischen Koordinaten gilt
mit reellen Zahlen und wobei (die Abszisse) eine unabhängige und (die Ordinate) die abhängige Variable ist.
Es gibt zahlreiche andere Bezeichnungskonventionen für den Funktionsterm, z. B. oder In Österreich wird [1] verwendet, in der Schweiz hingegen In Belgien findet man auch oder
Diese Darstellung bezeichnet man auch als die Normalform einer linearen Funktion. Ihre zwei Parameter lassen sich wie folgt interpretieren:
- Die Zahl gibt die Steigung der Geraden an.
- Die Zahl ist der y-Achsen- oder Ordinatenabschnitt, die Inhomogenität oder die Verschiebungskonstante.
Der Graph einer linearen Funktion verläuft nie parallel zur y-Achse, da damit einem mehr als ein zugeordnet wäre, was in Widerspruch zur definitorisch geforderten (Rechts-)Eindeutigkeit einer Funktion stünde.
Bestimmung des Funktionsterms aus zwei Punkten
Es wird vorausgesetzt, dass die Punkte und auf dem Graphen der linearen Funktion liegen und voneinander verschieden sind.
Die Steigung lässt sich berechnen mit
Der y-Achsenabschnitt ergibt sich mit
- oder
Der gesuchte Funktionsterm ist also gegeben durch
oder einfacher durch
Zusammenfassung
Funktionsgleichung
- Eine Funktion mit heißt lineare Funktion. Im Fall wird „ganzrationale Funktion 1. Grades“ oder „Polynom 1. Grades“ als Bezeichnung verwendet.
- Die graphische Darstellung des Funktionsgraphen ist eine Gerade.
Achsenschnittpunkte
- Schnittpunkt mit der -Achse:
- Schnittpunkt mit der -Achse:
Steigung
Die Steigung des Graphen einer linearen Funktion lässt sich wegen vom Koeffizienten in der Funktionsgleichung ablesen.
Aus den Koordinaten zweier Punkte der Geraden wird sie so berechnet:
Funktionsgleichung aufstellen
- Die Steigung und ein Punkt der auf der Geraden liegt, seien bekannt.
- Ansatz:
- Die Koordinaten zweier Punkte und die auf der Geraden liegen, seien bekannt.
- Zuerst wird der Steigungsfaktor berechnet, dann damit :
- oder
Schnittpunkt zweier Geraden
- Ansatz:
- Die Lösung dieser Gleichung ist die -Koordinate des Schnittpunktes der beiden Geraden.
- ist dann die -Koordinate dieses Schnittpunktes
- Die Lösung dieser Gleichung ist die -Koordinate des Schnittpunktes der beiden Geraden.
Orthogonale Geraden
- Für die Steigungen und zweier senkrecht aufeinander stehender Geraden und gilt:
Ableitung und Stammfunktion
Die Ableitung von ist ist also immer eine konstante Funktion, da die Ableitung einer Funktion die Steigung ihrer Tangente im Punkt angibt.
Stammfunktionen von haben die Gestalt Dies lässt sich folgendermaßen zeigen:
Grenzwerte
Ist bei einer linearen Funktion der Koeffizient positiv, so gilt und Der Graph entwickelt sich von „unten links“ nach „oben rechts“. Ist jedoch negativ, gilt und Der Graph verläuft also von „oben links“ nach „unten rechts“. Beim Sonderfall liegt eine konstante Funktion vor, es gilt also der Graph verläuft in diesem Fall parallel zur -Achse.
Weblinks
- Rechner und Theorie zur linearen Funktion, Archivlink abgerufen am 27. Februar 2022
- Lineare Funktionen – Einführung für Schüler (Video)
Literatur
- Manfred Leppig: Lernstufen Mathematik. Girardet 1981, ISBN 3-7736-2005-5, S. 61–74.