Lindelöf-Raum
Ein Lindelöf-Raum ist ein mathematisches Objekt aus der mengentheoretischen Topologie. Es handelt sich um ein Konzept, welches das des kompakten Raums verallgemeinert. Benannt ist der Lindelöf-Raum nach dem Mathematiker Ernst Leonard Lindelöf.
Ein Lindelöf-Raum ist erblich (englisch hereditarily), falls jeder seiner offenen Unterräume ein Lindelöf-Raum ist.[1]
Definition
Ein topologischer Raum wird Lindelöf-Raum genannt, falls jede offene Überdeckung eine höchstens abzählbare Teilüberdeckung besitzt.
Satz von Lindelöf
Hat der topologische Raum eine abzählbare Basis, so ist ein Lindelöf-Raum.
Weitere Eigenschaften
- Jeder kompakte Raum ist ein Lindelöf-Raum. Allgemeiner ist jeder -kompakte Raum ein Lindelöf-Raum.
- Ein topologischer Raum ist genau dann kompakt, wenn er abzählbar kompakt und Lindelöf-Raum ist.
- Für metrisierbare Räume sind die drei Eigenschaften zweitabzählbar, lindelöf und separabel äquivalent.
- Abgeschlossene Teilräume von Lindelöf-Räumen sind wieder Lindelöf-Räume.
- Jeder reguläre Raum, der ein Lindelöf-Raum ist, ist ein normaler Raum.
Erblicher Lindelöf-Raum
Ein Lindelöf-Raum ist erblich, falls jeder seiner offenen Unterräume auch ein Lindelöf-Raum ist.[1]
- Ist das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, dann ist der Lindelöf-Raum erblich.
- Jeder abzählbare Lindelöf-Raum ist erblich.
Literatur
- Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.