Leray-Spektralsequenz

In der Mathematik ist die Leray-Spektralsequenz ein Hilfsmittel zur Berechnung der Garbenkohomologie.

Definition

Sei eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. Betrachte den Funktor , der jeder Garbe über ihr direktes Bild über zuordnet. Seien seine abgeleiteten Funktoren. Dann gibt es eine Spektralsequenz mit

,

die gegen

konvergiert.

Zugang über Doppelkomplexe für Garben von Differentialformen

Sei eine stetige Abbildung zwischen glatten Mannigfaltigkeiten. Für eine Überdeckung von definiere einen Doppelkomplex als Čech-Komplex für die Garbe der Differentialformen .

Falls eine gute Überdeckung ist, dann ist die Kohomologie dieses Doppelkomplexes die De-Rham-Kohomologie . Zu dem Doppelkomplex hat man eine Spektralsequenz mit .

Anwendung auf Faserbündel

Für ein Faserbündel mit Faser erhält man eine gegen konvergierende Spektralsequenz mit .

Für Sphärenbündel kann man daraus die Gysin-Sequenz herleiten.

Die Verallgemeinerung der Leray-Spektralsequenz auf Serre-Faserungen wird als Leray-Serre-Spektralsequenz bezeichnet.

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