Komplexprodukt

Das Komplexprodukt, meist einfach Produkt genannt, ist ein Begriff aus einem mathematischen Teilgebiet, der Gruppentheorie.

Ist ein Magma (zum Beispiel eine Gruppe) und sind und Teilmengen von , dann ist das Komplexprodukt von mit definiert als

.

Es sind außerdem die Kurzschreibweisen

üblich, wobei Elemente des Magmas sind.

Weil das Komplexprodukt auf den Teilmengen von eine innere Verknüpfung definiert, macht es die Potenzmenge selbst zum Magma.

Eigenschaften

  • Ist das Magma M assoziativ (solche Magmen nennt man Halbgruppen), so ist auch mit dem Komplexprodukt assoziativ (also eine Halbgruppe).
  • Ist das Magma M kommutativ, so ist auch mit dem Komplexprodukt kommutativ.
  • Ist das Magma M ein Monoid, so ist auch mit dem Komplexprodukt ein Monoid. Das neutrale Element ist , wobei das neutrale Element von ist.
  • Ist das Magma M eine Gruppe, so ist mit dem Komplexprodukt jedoch keine Gruppe, sondern nur ein Monoid. Dies sieht man zum Beispiel daran, dass die leere Menge in absorbierend ist.
  • Das Komplexprodukt zweier Untergruppen und einer Gruppe ist eine Vereinigung von Linksnebenklassen von und eine Vereinigung von Rechtsnebenklassen von :
  • Sind und endliche Untergruppen einer Gruppe, dann gilt für die Mächtigkeit des Komplexprodukts die Gleichung
  • Das Komplexprodukt eines Normalteilers mit einer Untergruppe einer Gruppe ergibt eine Untergruppe. Genauer gesagt gilt für alle Untergruppen und , dass genau dann eine Untergruppe ist, wenn gilt. Ist oder ein Normalteiler, so ist dies erfüllt. Insbesondere ist also in abelschen Gruppen das Komplexprodukt von Untergruppen eine Untergruppe.
  • Das Komplexprodukt von Nebenklassen und eines Normalteilers ist . Mit diesem Produkt bilden die Nebenklassen von Normalteilern eine Gruppe, die Faktorgruppe von nach .
  • Ist Normalteiler und Untergruppe von , die die Eigenschaften und haben, dann ist das innere semidirekte Produkt von mit . Zur Existenz einer solchen Untergruppe bei gegebenem Normalteiler sei auf den Satz von Schur-Zassenhaus verwiesen.

Literatur

  • Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. print. Springer-Verlag, 1989, ISBN 0-387-90518-9