Kompakte Lie-Gruppe

Kompakte Lie-Gruppen und ihre Darstellungstheorie sind in vielen Bereichen der Mathematik und Physik von Bedeutung.

Der Kreis mit Mittelpunkt 0 und Radius 1 in der komplexen Zahlenebene ist eine Lie-Gruppe mit komplexer Multiplikation. Er ist kompakt, weil er eine abgeschlossene und beschränkte Teilmenge der Ebene ist.

Definition

Eine kompakte Lie-Gruppe ist eine Lie-Gruppe, die mit der zugrundeliegenden Topologie ein kompakter Hausdorffraum ist.

Klassifikation

Jede einfache, zusammenhängende und einfach zusammenhängende, kompakte Lie-Gruppe ist eine der folgenden:

• symplektische Gruppe ${\displaystyle Sp(n),n\geq 1}$,
• spezielle unitäre Gruppe ${\displaystyle SU(n),n\geq 3}$,
• Spin-Gruppe ${\displaystyle Spin(n),n\geq 7}$,
• die kompakte reelle Form einer der exzeptionellen Lie-Gruppen ${\displaystyle G_{2},F_{4},E_{6},E_{7},E_{8}}$.

Jede zusammenhängende und einfach zusammenhängende, kompakte Lie-Gruppe ist ein Produkt einfacher, zusammenhängender und einfach zusammenhängender, kompakter Lie-Gruppen.

Jede zusammenhängende, kompakte Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ hat eine zentrale Erweiterung

${\displaystyle 1\to A\to {\widetilde {G}}\to G\to 1}$,

wobei ${\displaystyle A}$ eine endliche abelsche Gruppe und ${\displaystyle {\widetilde {G}}=T^{m}\times K}$ das Produkt eines Torus mit einer zusammenhängenden und einfach zusammenhängenden, kompakten Lie-Gruppe ${\displaystyle K}$ ist.

Eine kompakte Gruppe hat endlich viele Zusammenhangskomponenten, sie ist also eine endliche Erweiterung ihrer Einheitskomponente ${\displaystyle G_{0}}$.

Literatur

• Mark Sepanski: Compact Lie Groups, Springer Verlag 2007. ISBN 978-0387302638