Jacobische elliptische Funktion

In der Mathematik ist eine Jacobische elliptische Funktion eine von zwölf speziellen elliptischen Funktionen. Die Jacobischen elliptischen Funktionen haben einige Analogien zu den trigonometrischen Funktionen und finden zahlreiche Anwendungen in der mathematischen Physik, bei elliptischen Filtern und in der Geometrie, insbesondere für die Pendelgleichung und die Bogenlänge einer Ellipse. Carl Gustav Jakob Jacobi führte sie um 1830 ein. Carl Friedrich Gauß hatte jedoch schon 1796 mit dem lemniskatischen Sinus und Kosinus zwei spezielle Jacobische Funktionen untersucht, seine Notizen darüber aber nicht veröffentlicht. Für die allgemeine Theorie der elliptischen Funktionen spielen heute jedoch weniger die Jacobischen als vielmehr die Weierstraßschen elliptischen Funktionen eine Rolle.

Die drei grundlegenden Jacobischen Funktionen

Es gibt zwölf Jacobische elliptische Funktionen, von denen sich neun aus drei grundlegenden Funktionen bilden lassen. Gegeben sei ein Parameter $k$ , der elliptische Modul, der der Ungleichung $0<k<1$ genügt. Er wird oft auch als $m$ angegeben, wobei $m=k^{2}$ , oder als modularer Winkel $\alpha$ , wobei $\sin ^{2}\alpha =k^{2}$ . Daneben werden oft die sogenannten komplementären Parameter $k'={\sqrt {1-k^{2}}}$ sowie $m_{1}={k'}^{2}$ verwendet. Die drei grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen sind dann

der sinus amplitudinis $\operatorname {sn} (z;k)$ ,
der cosinus amplitudinis $\operatorname {cn} (z;k)$ ,
das delta amplitudinis $\operatorname {dn} (z;k)$ .

Sie sind elliptische Funktionen und haben dementsprechend zwei Perioden. Insgesamt gelten für sie die folgenden Eigenschaften:

Funktion	Perioden	Nullstelle	Polstelle
$\operatorname {sn} (z;k)$	$4\,K,\ 2\,\mathrm {i} K'$	$2mK+2\,n\,\mathrm {i} \,K'$	$2\,mK+(2n+1)\,\mathrm {i} \,K'$
$\operatorname {cn} (z;k)$	$4\,K,\ 2\,(K+\mathrm {i} K')$	$(2m+1)\,K+2\,n\,\mathrm {i} \,K'$	$2\,mK+(2n+1)\,\mathrm {i} \,K'$
$\operatorname {dn} (z;k)$	$2\,K,\ 4\,\mathrm {i} K'$	$(2\,m+1)\,K+(2n+1)\,\mathrm {i} \,K'$	$2\,mK+(2n+1)\,\mathrm {i} \,K'$
n und m sind ganze Zahlen

Hierbei hängen die reellen Zahlen $K$ und $K'$ mit dem Parameter $k$ über die elliptischen Integrale

K=K(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \,\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}},{\mbox{ }}K'(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \,\varphi }{\sqrt {1-(1-k^{2})\sin ^{2}\varphi }}}

zusammen. So hat $\operatorname {sn}$ beispielsweise Nullstellen bei $z=0$ und $z=2K$ sowie Polstellen bei $z=\mathrm {i} \,K'$ und $z=2K+\mathrm {i} \,K'$ .

Speziell für $k^{2}=1/2$ ergeben die drei grundlegenden Jacobischen Funktionen die von Gauß eingeführten lemniskatischen Sinus- und Kosinusfunktionen wie folgt:

\textstyle \operatorname {sl} (z)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\operatorname {sn} ({\sqrt {2}}z;{\frac {1}{\sqrt {2}}})/\operatorname {dn} ({\sqrt {2}}z;{\frac {1}{\sqrt {2}}}),\qquad \textstyle \operatorname {cl} (z)=\operatorname {cn} ({\sqrt {2}}z;{\frac {1}{\sqrt {2}}}).

Für die Grenzfälle $k=0$ und $k=1$ ergeben die Jacobi-Funktionen die (nichtelliptischen) trigonometrischen Funktionen bzw. Hyperbelfunktionen:

Funktion	k=0	k=1
$\operatorname {sn} (z;k)$	$\sin z$	$\tanh z$
$\operatorname {cn} (z;k)$	$\cos z$	$\operatorname {sech} z={\tfrac {1}{\cosh z}}$
$\operatorname {dn} (z;k)$	$1$	$\operatorname {sech} z={\tfrac {1}{\cosh z}}$

Definitionen

Es gibt mehrere äquivalente Definitionen der Jacobischen Funktionen.

Abstrakte Definition als spezielle meromorphe Funktionen

Hilfskonstruktion

Gegeben seien als freie Parameter der elliptische Modul $k$ mit $0<k<1$ und die wie oben davon abhängenden reellen Zahlen $K$ und $K'$ mit

{\begin{aligned}K(k)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \,\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}},\\K'(k)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \,\varphi }{\sqrt {1-(1-k^{2})\sin ^{2}\varphi }}}.\end{aligned}}

Ferner sei ein Rechteck mit den Seitenlängen $K$ und $K'$ in der komplexen Ebene mit den Ecken $s,c,d,n$ gegeben, dessen Ecke $s$ im Ursprung liege. Die Seiten der Länge $K$ seien dabei parallel zur reellen Achse, die der Länge $K'$ parallel zur imaginären Achse. Die Ecke $c$ sei der Punkt $K,d$ der Punkt $K+iK'$ und $n$ der Punkt $iK'$ auf der imaginären Achse. Die zwölf Jacobischen elliptischen Funktionen bilden sich dann aus einer Buchstabenkombination $pq$ , wobei $p$ und $q\neq p$ jeweils einer der Buchstaben $s,c,d,n$ sind.

Eine Jacobische elliptische Funktion $\operatorname {pq} \,(z;k)$ ist dann die eindeutige doppelt-periodische meromorphe Funktion, die folgende drei Eigenschaften erfüllt:

Die Funktion $\operatorname {pq} \,(z;k)$ hat bei $p$ eine einfache Nullstelle und bei $q$ eine einfache Polstelle.
Die Funktion $\operatorname {pq} \,(z;k)$ ist periodisch in Richtung $p-q$ , wobei die Periode die doppelte Entfernung von $p$ nach $q$ ist. Ähnlich ist $\operatorname {pq} \,(z;k)$ periodisch in den beiden anderen Richtungen, jedoch mit einer Periode, die dem Vierfachen der Entfernung von $p$ zu dem anderen Punkt entspricht.
Wird die Funktion $\operatorname {pq} \,(z;k)$ um den Eckpunkt $p$ entwickelt, so lautet der führende Term einfach $z$ (mit dem Koeffizienten 1), der führende Term der Entwicklung um den Punkt $q$ ist $1/z$ , und der führende Term der Entwicklung um die beiden anderen Eckpunkte ist jeweils 1.

Definition als Umkehrfunktionen elliptischer Integrale

Die obige Definition als eindeutige meromorphe Funktion ist sehr abstrakt. Äquivalent kann eine Jacobische elliptische Funktion als eindeutige Umkehrfunktion des unvollständigen elliptischen Integrals erster Art definiert werden. Dies ist die übliche und vielleicht verständlichste Definition. Sei $k$ ein gegebener Parameter mit $0\leq k<1$ , und sei diese Formel gültig:

z(\phi )=\int _{0}^{\phi }{\frac {\mathrm {d} \,\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=F(\phi ;k)

Dann sind die Jacobischen elliptischen Funktionen $\operatorname {sn} ,\operatorname {cn}$ und $\operatorname {dn}$ durch jene Formeln gegeben:

\operatorname {sn} \;(z;k)=\sin \phi ,

\operatorname {cn} \;(z;k)=\cos \phi

und

\operatorname {dn} \;(z;k)={\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}.

Der Winkel $\phi =\phi (z)={\text{am}}(z;k)$ ist dabei die Amplitude, für $\operatorname {dn} \;z=\Delta (z)$ heißt er Delta-Amplitude. Es gilt insgesamt:

F[{\text{am}}(z;k);k]=z

{\text{sn}}(z;k)=\sin[{\text{am}}(z;k)]

{\text{cn}}(z;k)=\cos[{\text{am}}(z;k)]

{\text{dn}}(z;k)={\frac {\partial }{\partial z}}{\text{am}}(z;k)

Die Bezeichnung "Delta Amplitudinis" zeugt von der Tatsache, dass diese Funktion die Ableitung beziehungsweise der Differentialquotient der Jacobi-Amplitude ist.

Ferner genügt der freie Parameter $k$ der Ungleichung $0\leq k^{2}\leq 1$ . Für $\phi =\pi /2$ ist $z$ die Viertelperiode $K$ .

Die anderen neun Jacobischen elliptischen Funktionen werden aus diesen drei grundlegenden gebildet, siehe nächsten Abschnitt.

Definition mit Hilfe der Theta-Funktionen

Eine weitere Definition der Jacobi-Funktionen verwendet die Thetafunktionen.

Wenn der Modul k reell ist und die Ungleichung 0 < k < 1 gilt, dann gelten folgende Formeln^[1] für die drei grundlegenden Jacobischen Funktionen:

\operatorname {sn} (z;k)={\frac {\vartheta _{10}\{{\tfrac {1}{2}}\pi [1-K(k)^{-1}z];q(k)\}}{{\sqrt {|k|}}\vartheta _{00}\{{\tfrac {1}{2}}\pi [1-K(k)^{-1}z];q(k)\}}}

\operatorname {cn} (z;k)={\frac {{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\vartheta _{10}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}z;q(k)]}{{\sqrt {|k|}}\vartheta _{01}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}z;q(k)]}}

\operatorname {dn} (z;k)={\frac {{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\vartheta _{00}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}z;q(k)]}{\vartheta _{01}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}z;q(k)]}}

Hierbei ist die Formel für das Delta Amplitudinis für das gesamte Intervall ]-1;1[ gültig.

Für das vollständige elliptische Integral erster Art gilt:

K(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \,\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}

Die Funktion q(k) ist das sogenannte elliptische Nomen von k:

q(k)=\exp[-\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})K(k)^{-1}]

Die Thetafunktionswerte können auf diese Weise berechnet werden:

\vartheta _{00}(x;y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1+2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]

\vartheta _{01}(x;y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1-2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]

\vartheta _{10}(x;y)=2y^{1/4}\cos(x)\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1+2\cos(2x)y^{2n}+y^{4n}]

Definition mit Hilfe der Jacobischen Zetafunktion

Auch die Jacobische Zetafunktion kann zur Definition der Jacobifunktionen sn, cn und dn verwendet werden:

{\text{sn}}(z;k)={\frac {2\{{\text{zn}}({\tfrac {1}{2}}z;k)+{\text{zn}}[K(k)-{\tfrac {1}{2}}z;k]\}}{k^{2}+\{{\text{zn}}({\tfrac {1}{2}}z;k)+{\text{zn}}[K(k)-{\tfrac {1}{2}}z;k]\}^{2}}}

{\text{dn}}(z;k)={\frac {k^{2}-\{{\text{zn}}({\tfrac {1}{2}}z;k)+{\text{zn}}[K(k)-{\tfrac {1}{2}}z;k]\}^{2}}{k^{2}+\{{\text{zn}}({\tfrac {1}{2}}z;k)+{\text{zn}}[K(k)-{\tfrac {1}{2}}z;k]\}^{2}}}

Der Grenzwert dieses Bruchs für k gegen 0⁺ ergibt den Kreissinus. Und der Grenzwert dieses Bruchs für k gegen 1 ergibt den Tangens Hyperbolicus. Auf diesem Definitionsweg dient folgende Formel für die Zetafunktion zn als definierende Grundlage:

{\text{zn}}(x;k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\pi K(k)^{-1}\sin[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}}{1-2\cos[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}

Sukzessiv wird der Cosinus Amplitudinis dann so definiert:

{\text{cn}}(z;k)={\text{sn}}[K(k)-z;k]{\text{dn}}(z;k)

Wichtiger Hinweis für die Grenzwertbildung:

\lim _{k\rightarrow 1}{\text{zn}}({\tfrac {1}{2}}z;k)={\text{zn}}({\tfrac {1}{2}}z;1)=\tanh({\tfrac {1}{2}}z)

Jedoch gilt:

\lim _{k\rightarrow 1}{\text{zn}}[K(k)-{\tfrac {1}{2}}z;k]=0\neq \tanh[K(1)]

Weitere Definitionen mit Summenreihen

Die Funktionen sn und cn können unter der Bedingung 0 < k < 1 ebenso mit Summenreihen aus Quotienten von Hyperbelfunktionen definiert werden:

\operatorname {sn} (z;k)={\frac {2\pi }{|k|K(k)}}\sin {\bigl [}{\frac {\pi }{2K(k)}}z{\bigr ]}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cosh {\bigl [}(n-{\tfrac {1}{2}})\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})K(k)^{-1}{\bigr ]}}{\cosh {\bigl [}(2n-1)\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})K(k)^{-1}{\bigr ]}-\cos {\bigl [}{\frac {\pi }{K(k)}}z{\bigr ]}}}

\operatorname {cn} (z;k)={\frac {2\pi }{|k|K(k)}}\cos {\bigl [}{\frac {\pi }{2K(k)}}z{\bigr ]}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}\sinh {\bigl [}(n-{\tfrac {1}{2}})\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})K(k)^{-1}{\bigr ]}}{\cosh {\bigl [}(2n-1)\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})K(k)^{-1}{\bigr ]}-\cos {\bigl [}{\frac {\pi }{K(k)}}z{\bigr ]}}}

Mit einer Sekans-Hyperbolicus-Summe ist eine Definition^[2] für das Delta Amplitudinis möglich:

\operatorname {dn} (z;k)={\frac {\pi }{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\text{sech}}{\bigl \{}\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})^{-1}{\bigl [}K(k)n+{\tfrac {1}{2}}z{\bigr ]}{\bigr \}}

Die abgeleiteten Jacobi-Funktionen

Üblicherweise werden die Kehrwerte der drei grundlegenden Jacobi-Funktionen durch die Umkehrung der Buchstabenreihenfolge bezeichnet, also:

\operatorname {ns} (z;k)=1/\operatorname {sn} (z;k)

\operatorname {nc} (z;k)=1/\operatorname {cn} (z;k)

\operatorname {nd} (z;k)=1/\operatorname {dn} (z;k)

Die Verhältnisse der drei grundlegenden Jacobi-Funktionen werden durch den jeweils ersten Buchstaben des Zählers und des Nenners bezeichnet, also:

\operatorname {sc} (z;k)=\operatorname {sn} (z;k)/\operatorname {cn} (z;k)

\operatorname {sd} (z;k)=\operatorname {sn} (z;k)/\operatorname {dn} (z;k)

\operatorname {dc} (z;k)=\operatorname {dn} (z;k)/\operatorname {cn} (z;k)

\operatorname {ds} (z;k)=\operatorname {dn} (z;k)/\operatorname {sn} (z;k)

\operatorname {cs} (z;k)=\operatorname {cn} (z;k)/\operatorname {sn} (z;k)

\operatorname {cd} (z;k)=\operatorname {cn} (z;k)/\operatorname {dn} (z;k)

Verkürzt können wir also schreiben

\operatorname {pq} (z;k)={\frac {\operatorname {pr} (z;k)}{\operatorname {qr} (z;k)}},

wobei $p,q$ und $r$ jeweils einer der Buchstaben $s,c,d,n$ sind und $ss=cc=dd=nn=1$ gesetzt wird.

Additionstheoreme

Die Jacobi-Funktionen genügen den beiden algebraischen Beziehungen

\operatorname {cn} ^{2}+\operatorname {sn} ^{2}=1

\operatorname {dn} ^{2}+k^{2}\operatorname {sn} ^{2}=1

Somit parametrisieren $(\operatorname {cn,sn,dn} )$ eine elliptische Kurve, die die Schnittmenge der beiden durch die obigen Gleichungen definierten Quadriken darstellt. Ferner können wir mit den Additionstheoremen ein Gruppengesetz für Punkte auf dieser Kurve definieren:

\operatorname {sn} (x+y;k)={\operatorname {sn} (x;k)\;\operatorname {cn} (y;k)\;\operatorname {dn} (y;k)+\operatorname {sn} (y;k)\;\operatorname {cn} (x;k)\;\operatorname {dn} (x;k) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x;k)\;\operatorname {sn} ^{2}(y;k)}}

\operatorname {cn} (x+y;k)={\operatorname {cn} (x;k)\;\operatorname {cn} (y;k)-\operatorname {sn} (x;k)\;\operatorname {sn} (y;k)\;\operatorname {dn} (x;k)\;\operatorname {dn} (y;k) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x;k)\;\operatorname {sn} ^{2}(y;k)}}

\operatorname {dn} (x+y;k)={\operatorname {dn} (x;k)\;\operatorname {dn} (y;k)-k^{2}\;\operatorname {sn} (x;k)\;\operatorname {sn} (y;k)\;\operatorname {cn} (x;k)\;\operatorname {cn} (y;k) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x;k)\;\operatorname {sn} ^{2}(y;k)}}

Durch Zusatz der Funktion cd(x;k) = cn(x;k)/dn(x;k) = sn[K(k)-x;k] kann auch folgendes Paar an Theoremen formuliert werden:

\operatorname {sn} (x+y;k)={\frac {\operatorname {sn} (x;k)\operatorname {cd} (y;k)+\operatorname {cd} (x;k)\operatorname {sn} (y;k)}{1+k^{2}\operatorname {sn} (x;k)\operatorname {cd} (x;k)\operatorname {sn} (y;k)\operatorname {cd} (y;k)}}

\operatorname {cd} (x+y;k)={\frac {\operatorname {cd} (x;k)\operatorname {cd} (y;k)-\operatorname {sn} (x;k)\operatorname {sn} (y;k)}{1-k^{2}\operatorname {sn} (x;k)\operatorname {cd} (x;k)\operatorname {sn} (y;k)\operatorname {cd} (y;k)}}

Mit folgendem Theorem können arithmetische Mittlungen durchgeführt werden:

\operatorname {sn} (x/2+y/2;k)^{2}={\frac {1+\operatorname {sn} (x;k)\operatorname {sn} (y;k)-\operatorname {cn} (x;k)\operatorname {cn} (y;k)}{1+k^{2}\operatorname {sn} (x;k)\operatorname {sn} (y;k)+\operatorname {dn} (x;k)\operatorname {dn} (y;k)}}

Modultransformationen

Die Jacobi-Funktionen eines Moduls können stets durch Jacobi-Funktionen eines anderen Moduls dargestellt werden, welcher mit dem ursprünglichen Modul elliptisch verwandt ist. Zwei elliptische Module a und b sind genau dann miteinander elliptisch verwandt, wenn sie folgende Formel erfüllen:

{\frac {K(a)K'(b)}{K(b)K'(a)}}\in \mathbb {Q^{+}}

In der Ausdrucksform der Elliptischen Lambdafunktion sind somit die elliptischen Module λ*(w) und λ*(v²w) mit v ∈ ℚ\0 miteinander elliptisch verwandt.

Transformation mit der Modulzuordnung λ*(w) ↦ λ*(4w):

\operatorname {sn} (x;k)={\frac {2(1+{\sqrt {1-k^{2}}})\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]}{(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{2}+k^{2}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]^{2}}}

\operatorname {dn} (x;k)={\frac {(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{2}-k^{2}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]^{2}}{(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{2}+k^{2}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]^{2}}}

\operatorname {cn} (x;k)={\frac {(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{2}\operatorname {cn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]\operatorname {dn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]}{(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{2}+k^{2}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]^{2}}}

Somit gilt auch:

\operatorname {sc} (x;k)={\frac {2\operatorname {sc} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]}{(1+{\sqrt {1-k^{2}}})\operatorname {dn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]}}

Außerdem gilt diese Summentransformation:

\operatorname {cd} (x;k)+\operatorname {cn} (x;k)={\frac {\operatorname {sn} [(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]}{\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]}}

Transformation mit der Modulzuordnung λ*(w) ↦ λ*(9w):

{\text{sn}}({\color {crimson}x};k)={\frac {3{\color {green}{\text{sn}}{\bigl \langle }{\tfrac {1}{3}}{\bigl \{}2{\text{dn}}[{\tfrac {2}{3}}K(k);k]+1{\bigr \}}{\color {crimson}x};k^{3}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]^{4}{\bigr \rangle }}+k^{4}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]^{4}{\text{sn}}[{\tfrac {2}{3}}K(k);k]^{2}{\color {green}{\text{sn}}{\bigl \langle }{\tfrac {1}{3}}{\bigl \{}2{\text{dn}}[{\tfrac {2}{3}}K(k);k]+1{\bigr \}}{\color {crimson}x};k^{3}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]^{4}{\bigr \rangle }}^{3}}{2{\text{dn}}[{\tfrac {2}{3}}K(k);k]+1+3k^{2}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]^{2}{\color {green}{\text{sn}}{\bigl \langle }{\tfrac {1}{3}}{\bigl \{}2{\text{dn}}[{\tfrac {2}{3}}K(k);k]+1{\bigr \}}{\color {crimson}x};k^{3}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]^{4}{\bigr \rangle }}^{2}}}

{\text{cd}}({\color {crimson}x};k)={\frac {3{\color {blue}{\text{cd}}{\bigl \langle }{\tfrac {1}{3}}{\bigl \{}2{\text{dn}}[{\tfrac {2}{3}}K(k);k]+1{\bigr \}}{\color {crimson}x};k^{3}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]^{4}{\bigr \rangle }}+k^{4}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]^{4}{\text{sn}}[{\tfrac {2}{3}}K(k);k]^{2}{\color {blue}{\text{cd}}{\bigl \langle }{\tfrac {1}{3}}{\bigl \{}2{\text{dn}}[{\tfrac {2}{3}}K(k);k]+1{\bigr \}}{\color {crimson}x};k^{3}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]^{4}{\bigr \rangle }}^{3}}{2{\text{dn}}[{\tfrac {2}{3}}K(k);k]+1+3k^{2}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]^{2}{\color {blue}{\text{cd}}{\bigl \langle }{\tfrac {1}{3}}{\bigl \{}2{\text{dn}}[{\tfrac {2}{3}}K(k);k]+1{\bigr \}}{\color {crimson}x};k^{3}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]^{4}{\bigr \rangle }}^{2}}}

Rechenhinweise:

k^{2}{\color {cornflowerblue}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}^{4}-2k^{2}{\color {cornflowerblue}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}^{3}+2{\color {cornflowerblue}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}-1=0

{\text{dn}}[{\tfrac {2}{3}}K(k);k]={\color {cornflowerblue}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}^{-1}-1

{\text{sn}}[{\tfrac {2}{3}}K(k);k]^{2}=\{1-{\color {cornflowerblue}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}^{2}\}\{1-k^{2}{\color {cornflowerblue}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}^{2}\}^{-1}

Quadratische Beziehungen

{\begin{aligned}-\operatorname {dn} ^{2}(z;k)+{k'}^{2}&\quad =\qquad -k^{2}\;\operatorname {cn} ^{2}(z;k)&&=k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(z;k)-k^{2}\\-{k'}^{2}\;\operatorname {nd} ^{2}(z;k)+k'^{2}&\quad =\qquad -k^{2}{k'}^{2}\;\operatorname {sd} ^{2}(z;k)&&=k^{2}\;\operatorname {cd} ^{2}(z;k)-k^{2}\\{k'}^{2}\;\operatorname {sc} ^{2}(z;k)+{k'}^{2}&\quad =\qquad {k'}^{2}\;\operatorname {nc} ^{2}(z;k)&&=\operatorname {dc} ^{2}(z;k)-k^{2}\\\operatorname {cs} ^{2}(z;k)+{k'}^{2}&\quad =\qquad \operatorname {ds} ^{2}(z;k)&&=\operatorname {ns} ^{2}(z;k)-k^{2}\\\end{aligned}}

mit $k^{2}+k'^{2}=1$ . Weitere quadratische Beziehungen können mit $\operatorname {pq} ^{2}\cdot \operatorname {qp} ^{2}=1$ und $\operatorname {pq} =\operatorname {pr} /\operatorname {qr}$ gebildet werden, wobei $p,q$ und $r$ jeweils einer der Buchstaben $s,c,d,n$ sind und $ss=cc=dd=nn=1$ gesetzt wird.

Weitere Beziehungen

Diese Formeln stellen die Beziehungen der Jacobi-Funktionswerte für verdoppelte und verdreifachte Werte dar:

\operatorname {sn} (x;k)\operatorname {sn} (2x;k)=\operatorname {cd} (x;k)[1-\operatorname {cn} (2x;k)]

\operatorname {cd} (x;k)\operatorname {sn} (2x;k)=\operatorname {sn} (x;k)[1+\operatorname {cn} (2x;k)]

\operatorname {cn} (x;k)-\operatorname {cn} (3x;k)=\operatorname {sn} (x;k)\operatorname {sn} (2x;k)[\operatorname {dn} (x;k)+\operatorname {dn} (3x;k)]

\operatorname {cn} (x;k)+\operatorname {cn} (3x;k)=\operatorname {cd} (x;k)\operatorname {cd} (2x;k)[\operatorname {dn} (x;k)+\operatorname {dn} (3x;k)]

\operatorname {sn} (2x;k)^{2}-\operatorname {sn} (x;k)^{2}=\operatorname {sn} (x;k)\operatorname {sn} (3x;k)[1-k^{2}\operatorname {sn} (x;k)^{2}\operatorname {sn} (2x;k)^{2}]

\operatorname {cd} (x;k)^{2}-\operatorname {sn} (2x;k)^{2}=\operatorname {cd} (x;k)\operatorname {cd} (3x;k)[1-k^{2}\operatorname {cd} (x;k)^{2}\operatorname {sn} (2x;k)^{2}]

Werte der Jacobi-Funktionen

Mit den Additionstheoremen können folgende Beziehungen hergeleitet werden:

Werte für die Halbierung von K

\operatorname {sn} \left({\tfrac {1}{2}}K(k);k\right)={\frac {\sqrt {2}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}

und

\operatorname {cn} \left({\tfrac {1}{2}}K(k);k\right)={\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}

und

\operatorname {dn} \left({\tfrac {1}{2}}K(k);k\right)={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}

Werte für die Dreiteilung von K

k^{2}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{4}-2k^{2}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{3}+2\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}-1=0

\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}+\operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {2}{3}}K(k);k{\bigr ]}=1

\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}\operatorname {dn} {\bigl [}{\tfrac {2}{3}}K(k);k{\bigr ]}=\operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {2}{3}}K(k);k{\bigr ]}

Alternativ zum Auflösen des genannten quartischen Gleichungsausdrucks kann auch folgende Parameterformel verwendet werden:

\operatorname {sn} {\biggl [}{\frac {1}{3}}K{\biggl (}{\frac {x^{3}}{{\sqrt {x^{6}+1}}+1}}{\biggr )};{\frac {x^{3}}{{\sqrt {x^{6}+1}}+1}}{\biggr ]}={\frac {{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}-1}{{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}

Den Wert für x^3 entsteht durch Tangensverdopplung des elliptischen Moduls:

{\frac {x^{3}}{{\sqrt {x^{6}+1}}+1}}=\tan {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arctan(x^{3}){\bigr ]}

Werte für die Fünfteilung von K

Folgende Gleichung wird durch nachfolgenden Ausdruck gelöst:

4k^{2}x^{6}+8k^{2}x^{5}+2(1-k^{2})^{2}x-(1-k^{2})^{2}=0

Trigonometrischer Ausdruck derselben Gleichung:

\tan[2\arctan(k)]^{2}(x^{6}+2x^{5})+2x-1=0

Eine reelle Lösung der Gleichung:

x_{1}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}k^{2}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {2}{5}}K(k);k{\bigr ]}^{2}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {4}{5}}K(k);k{\bigr ]}^{2}={\frac {\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {4}{5}}K(k);k{\bigr ]}^{2}-\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {2}{5}}K(k);k{\bigr ]}^{2}}{2\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {2}{5}}K(k);k{\bigr ]}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {4}{5}}K(k);k{\bigr ]}}}={\frac {2\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}{5\vartheta _{01}[q(k)^{5}]^{2}-\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}}

Diese Gleichung sechsten Grades besitzt eine quintische Resolvente^[3] in der Bring-Jerrard-Form.

Dabei liegt x₁ für reelle k-Werte des Intervalls ]-1;1[ immer im Intervall ]0;1/2].

Mit dem Wert für x₁ können anschließend diese Sinus-Amplitudinis-Werte ermittelt werden:

\operatorname {sn} \left[{\tfrac {2}{5}}K(k);k\right]={\frac {1}{\sqrt {1+k^{2}}}}{\sqrt {2(1-x_{1}-x_{1}^{2})(1+x_{1}^{2}-x_{1}{\sqrt {1+x_{1}^{2}}})}}={\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}}}}{\sqrt {2}}x_{1}{\sqrt[{4}]{2x_{1}+x_{1}^{2}}}{\sqrt {{\sqrt {1+x_{1}^{2}}}-x_{1}}}

\operatorname {sn} \left[{\tfrac {4}{5}}K(k);k\right]={\frac {1}{\sqrt {1+k^{2}}}}{\sqrt {2(1-x_{1}-x_{1}^{2})(1+x_{1}^{2}+x_{1}{\sqrt {1+x_{1}^{2}}})}}={\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}}}}{\sqrt {2}}x_{1}{\sqrt[{4}]{2x_{1}+x_{1}^{2}}}{\sqrt {{\sqrt {1+x_{1}^{2}}}+x_{1}}}

Weitere sn-Werte können mit den folgenden zwei Formeln gelöst werden:

\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{5}}K(k);k{\bigr ]}={\frac {{\sqrt {1+x_{1}^{2}}}-{\sqrt {2x_{1}+x_{1}^{2}}}+1}{{\sqrt {1+x_{1}^{2}}}+{\sqrt {2x_{1}+x_{1}^{2}}}+1}}

und

\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {3}{5}}K(k);k{\bigr ]}={\frac {-{\sqrt {1+x_{1}^{2}}}+{\sqrt {2x_{1}+x_{1}^{2}}}+1}{{\sqrt {1+x_{1}^{2}}}+{\sqrt {2x_{1}+x_{1}^{2}}}-1}}

Für das Produkt dieser beiden sn-Werte gilt außerdem:

\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{5}}K(k);k\right]\operatorname {sn} \left[{\tfrac {3}{5}}K(k);k\right]={\frac {(1-k^{2})(1-x_{1})-2(x_{1}^{3}+x_{1}^{4})}{(1-k^{2})(1-x_{1})+2k^{2}(x_{1}^{3}+x_{1}^{4})}}

Werte für die Siebenteilung von K

Folgende Gleichung wird durch nachfolgenden Ausdruck gelöst:

16k^{4}x^{8}-32{\sqrt {2}}k^{4}x^{7}-28k^{2}(1-k^{2})^{2}x^{4}-2{\sqrt {2}}(1-k^{2})^{4}x+(1-k^{2})^{4}=0

Trigonometrischer Ausdruck derselben Gleichung:

\tan[2\arctan(k)]^{4}(x^{8}-2{\sqrt {2}}x^{7})-7\tan[2\arctan(k)]^{2}x^{4}-2{\sqrt {2}}x+1=0

Eine reelle Lösung der Gleichung:

x_{1}={\frac {g\{\pi ^{-2}\ln[q(k)]^{2}\}^{7}}{g\{49\pi ^{-2}\ln[q(k)]^{2}\}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {2}}{\biggl \{}{\frac {{\text{sn}}[{\tfrac {6}{7}}K(k);k]}{{\text{sn}}[{\tfrac {2}{7}}K(k);k]}}+{\frac {{\text{sn}}[{\tfrac {2}{7}}K(k);k]}{{\text{sn}}[{\tfrac {4}{7}}K(k);k]}}-{\frac {{\text{sn}}[{\tfrac {4}{7}}K(k);k]}{{\text{sn}}[{\tfrac {6}{7}}K(k);k]}}-1{\biggr \}}

Hierbei steht g für die Ramanujansche g-Funktion und q für das elliptische Nomen.

Als Nächstes ist folgende Gleichung zu berechnen:

(y-1)^{2}(y+1)-2{\sqrt {2}}x_{1}y=0

Die drei Lösungen dieser Gleichung lauten wie folgt:

y_{1}={\frac {{\text{sn}}[{\tfrac {4}{7}}K(k);k]}{{\text{sn}}[{\tfrac {2}{7}}K(k);k]}}

y_{2}={\frac {{\text{sn}}[{\tfrac {2}{7}}K(k);k]}{{\text{sn}}[{\tfrac {6}{7}}K(k);k]}}

y_{3}=-{\frac {{\text{sn}}[{\tfrac {6}{7}}K(k);k]}{{\text{sn}}[{\tfrac {4}{7}}K(k);k]}}

Zum Schluss werden die Sinus-Amplitudinis-Werte direkt ermittelt.

Hierfür kann das Verdopplungstheorem verwendet werden:

4(1-z_{A}^{2})(1-k^{2}z_{A}^{2})=(1-k^{2}z_{A}^{4})^{2}y_{1}^{2}

z_{A}={\text{sn}}[{\tfrac {2}{7}}K(k);k]

4(1-z_{B}^{2})(1-k^{2}z_{B}^{2})=(1-k^{2}z_{B}^{4})^{2}y_{2}^{2}

z_{B}={\text{sn}}[{\tfrac {6}{7}}K(k);k]

4(1-z_{C}^{2})(1-k^{2}z_{C}^{2})=(1-k^{2}z_{C}^{4})^{2}y_{3}^{2}

z_{C}={\text{sn}}[{\tfrac {4}{7}}K(k);k]

Beweise der K-Bruchformeln

Beweis der Formeln für die Dreiteilung von K

Durch innere Verschiebung der sn-Funktion um den Wert K entsteht die cd-Funktion:

{\text{sn}}[{\tfrac {2}{3}}K(k);k]={\frac {{\text{cn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}{{\text{dn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}}

Das Verdopplungstheorem des Sinus-Amplitudinis lautet so:

{\text{sn}}[{\tfrac {2}{3}}K(k);k]={\frac {2{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]{\text{cn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]{\text{dn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}{1-k^{2}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]^{4}}}

Aus diesen beiden Formeln folgen jene Formeln:

2{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]{\text{dn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]^{2}=1-k^{2}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]^{4}

2{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]\{1-k^{2}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]^{2}\}=1-k^{2}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]^{4}

k^{2}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{4}-2k^{2}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{3}+2\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}-1=0

Im Folgenden wird diese Substitution durchgeführt:

y={\frac {1+{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}{1-{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}}

So ergibt sich jene Formel:

y^{4}-6y^{2}-8{\frac {1+k^{2}}{1-k^{2}}}y-3=0

Als Nächstes wird der Modul auf folgende Weise parametrisiert:

k={\frac {x^{3}}{{\sqrt {x^{6}+1}}+1}}

So entsteht diese Gleichung:

y^{4}-6y^{2}-8{\sqrt {x^{6}+1}}\,y-3=0

Alle quartischen Polynome können als Differenz nach dem Muster Quadrat eines quadratischen Polynoms minus Quadrat eines linearen Polynoms dargestellt werden:

(y^{2}+2x^{2}-1)^{2}-4({\sqrt {x^{2}+1}}\,y+{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}})^{2}=0

Als dritte Binomische Formel kann dieser Ausdruck faktorisiert werden.

Durch den Satz von Vieta entsteht folgende quadratische Gleichung:

y^{2}+2x^{2}-1-2{\sqrt {x^{2}+1}}\,y-2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}=0

(y-{\sqrt {x^{2}+1}})^{2}+x^{2}-2-2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}=0

y={\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}

{\frac {1+{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}{1-{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}}={\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}

{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]={\frac {{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}-1}{{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}

k={\frac {x^{3}}{{\sqrt {x^{6}+1}}+1}}

\operatorname {sn} {\biggl [}{\frac {1}{3}}K{\biggl (}{\frac {x^{3}}{{\sqrt {x^{6}+1}}+1}}{\biggr )};{\frac {x^{3}}{{\sqrt {x^{6}+1}}+1}}{\biggr ]}={\frac {{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}-1}{{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}

QUOD ERAT DEMONSTRANDUM

Beweis der Formeln für die Fünfteilung von K

Das Verdopplungstheorem der cd-Funktion ergibt folgende zwei Ausdrücke:

{\text{sn}}[{\tfrac {3}{5}}K(k);k]={\text{cd}}[{\tfrac {2}{5}}K(k);k]={\frac {1-2{\text{sn}}[{\tfrac {1}{5}}K(k);k]^{2}+k^{2}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{5}}K(k);k]^{4}}{1-2k^{2}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{5}}K(k);k]^{2}+k^{2}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{5}}K(k);k]^{4}}}

{\text{sn}}[{\tfrac {1}{5}}K(k);k]=-{\text{cd}}[{\tfrac {6}{5}}K(k);k]=-{\frac {1-2{\text{sn}}[{\tfrac {3}{5}}K(k);k]^{2}+k^{2}{\text{sn}}[{\tfrac {3}{5}}K(k);k]^{4}}{1-2k^{2}{\text{sn}}[{\tfrac {3}{5}}K(k);k]^{2}+k^{2}{\text{sn}}[{\tfrac {3}{5}}K(k);k]^{4}}}

Nun wird auf diese Weise parametrisiert:

{\text{sn}}[{\tfrac {3}{5}}K(k);k]=a

{\text{sn}}[{\tfrac {1}{5}}K(k);k]=b

Dann entstehen folgende Ausdrücke:

a(1-2k^{2}b^{2}+k^{2}b^{4})=1-2b^{2}+k^{2}b^{4}

b(1-2k^{2}a^{2}+k^{2}a^{4})=-(1-2a^{2}+k^{2}a^{4})

Die Summe dieser beiden Formeln ergibt dieses Resultat:

a(1-2k^{2}b^{2}+k^{2}b^{4})+b(1-2k^{2}a^{2}+k^{2}a^{4})=1-2b^{2}+k^{2}b^{4}-(1-2a^{2}+k^{2}a^{4})

(a+b)[1-2k^{2}ab+k^{2}ab(a^{2}+b^{2}-ab)]=(a^{2}-b^{2})[2-k^{2}(a^{2}+b^{2})]

{\color {royalblue}1-2k^{2}ab+k^{2}ab[(a-b)^{2}+ab]=(a-b)[2-k^{2}(a-b)^{2}-2k^{2}ab]}

Die Differenz derselben beiden Formeln ergibt jenes Resultat:

a(1-2k^{2}b^{2}+k^{2}b^{4})-b(1-2k^{2}a^{2}+k^{2}a^{4})=1-2b^{2}+k^{2}b^{4}+1-2a^{2}+k^{2}a^{4}

(a-b)[1+2k^{2}ab-k^{2}ab(a^{2}+b^{2}+ab)]=2-2(a^{2}+b^{2})+k^{2}(a^{4}+b^{4})

{\color {blueviolet}(a-b)\{1+2k^{2}ab-k^{2}ab[(a-b)^{2}+3ab]\}=2-2[(a-b)^{2}+2ab]+k^{2}[(a-b)^{4}+4ab(a-b)^{2}+2a^{2}b^{2}]}

Nun wird auf folgende Weise die Parametrisierung abgeändert:

{\text{sn}}[{\tfrac {3}{5}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {1}{5}}K(k);k]=ab=x

{\text{sn}}[{\tfrac {3}{5}}K(k);k]-{\text{sn}}[{\tfrac {1}{5}}K(k);k]=a-b=y

So entstehen diese Formeln:

{\color {royalblue}1-2k^{2}x+k^{2}x(y^{2}+x)=y(2-k^{2}y^{2}-2k^{2}x)}

{\color {blueviolet}y[1+2k^{2}x-k^{2}x(y^{2}+3x)]=2-2(y^{2}+2x)+k^{2}(y^{4}+4xy^{2}+2x^{2})}

Aus diesen beiden Formeln kristallisieren sich jene Formeln heraus:

2x^{2}-2x+2xy+y^{3}=0

k^{2}xy^{2}-k^{2}x^{2}-2y+1=0

Durch Kombination der nun genannten beiden Formeln entstehen folgende zwei Formeln:

{\color {blue}k^{6}x^{6}-4k^{6}x^{5}+5k^{4}x^{4}-5k^{2}x^{2}+4x-1=0}

x={\text{sn}}[{\tfrac {1}{5}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {3}{5}}K(k);k]

{\color {green}k^{4}(y^{6}+2y^{5})+4(1-k^{2})(2y-1)=0}

y={\text{sn}}[{\tfrac {3}{5}}K(k);k]-{\text{sn}}[{\tfrac {1}{5}}K(k);k]

Die sn-Differenz stimmt mit der analogen cd-Differenz und cn-Differenz überein:

{\text{sn}}[{\tfrac {3}{5}}K(k);k]-{\text{sn}}[{\tfrac {1}{5}}K(k);k]={\text{cd}}[{\tfrac {2}{5}}K(k);k]-{\text{cd}}[{\tfrac {4}{5}}K(k);k]={\text{cn}}[{\tfrac {2}{5}}K(k);k]-{\text{cn}}[{\tfrac {4}{5}}K(k);k]

Der Wert y kann dann auch so formuliert werden:

y={\tfrac {1}{2}}\{{\text{cd}}[{\tfrac {2}{5}}K(k);k]+{\text{cn}}[{\tfrac {2}{5}}K(k);k]\}-{\tfrac {1}{2}}\{{\text{cd}}[{\tfrac {4}{5}}K(k);k]+{\text{cn}}[{\tfrac {4}{5}}K(k);k]\}

Durch Modultransformation (Siehe oben Summentransformation cd + cn!) entsteht dieser Ausdruck für denselben y-Wert:

y={\frac {\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {4}{5}}K(k_{1});k_{1}{\bigr ]}^{2}-\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {2}{5}}K(k_{1});k_{1}{\bigr ]}^{2}}{2\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {2}{5}}K(k_{1});k_{1}{\bigr ]}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {4}{5}}K(k_{1});k_{1}{\bigr ]}}}

Dabei entsteht der Modul nach diesem Muster:

k_{1}=k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}

So sieht die Gleichung mit dem alten Modul aus:

{\color {green}k^{4}(y^{6}+2y^{5})+4(1-k^{2})(2y-1)=0}

Und so sieht sie mit dem neuen Modul und derselben Unbekannten aus:

{\color {JungleGreen}4k_{1}^{2}(y^{6}+2y^{5})+(1-k_{1}^{2})^{2}(2y-1)=0}

y={\frac {\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {4}{5}}K(k_{1});k_{1}{\bigr ]}^{2}-\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {2}{5}}K(k_{1});k_{1}{\bigr ]}^{2}}{2\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {2}{5}}K(k_{1});k_{1}{\bigr ]}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {4}{5}}K(k_{1});k_{1}{\bigr ]}}}

QUOD ERAT DEMONSTRANDUM

Entwicklung als Lambert-Reihe

Mit dem elliptischen Nomen (auf engl. nome) $q=\exp(-\pi K'/K)$ und dem Argument $v=\pi u/(2K(k))$ können die Funktionen in eine Lambert-Reihe entwickelt werden:

\operatorname {sn} (u;k)={\frac {2\pi }{K(k){\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin((2n+1)v)

\operatorname {cn} (u;k)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos((2n+1)v)

\operatorname {dn} (u;k)={\frac {\pi }{2K}}+{\frac {2\pi }{K}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos(2nv)

Die elliptischen Jacobi-Funktionen als Lösungen nichtlinearer Differentialgleichungen

Die Ableitungen der drei grundlegenden elliptischen Jacobi-Funktionen lauten:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {sn} \,(z;k)=\mathrm {cn} \,(z;k)\,\mathrm {dn} \,(z;k)

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {cn} \,(z;k)=-\mathrm {sn} \,(z;k)\,\mathrm {dn} \,(z;k)

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {dn} \,(z;k)=-k^{2}\mathrm {sn} \,(z;k)\,\mathrm {cn} \,(z;k)

Mit den obigen Additionstheoremen sind sie daher für ein gegebenes $k$ mit $0<k<1$ Lösungen der folgenden nichtlinearen Differentialgleichungen:

$\operatorname {sn} \,(x;k)$ löst ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1+k^{2})y-2k^{2}y^{3}=0$ und $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}y^{2})$

$\operatorname {cn} \,(x;k)$ löst ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2k^{2})y+2k^{2}y^{3}=0$ und $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}+k^{2}y^{2})$

$\operatorname {dn} \,(x;k)$ löst ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2-k^{2})y+2y^{3}=0$ und $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-k^{2}-y^{2})$

Stammfunktionen der Jacobi-Funktionen

In dieser Liste werden einige Ursprungsstammfunktionen für die Jacobi-Funktionen genannt:

\int _{0}^{x}{\text{sn}}(z;k)\mathrm {d} z={\frac {1}{k}}{\text{artanh}}(k)-{\frac {1}{k}}{\text{artanh}}[k\,{\text{cd}}(x;k)]

\int _{0}^{x}{\text{cn}}(z;k)\mathrm {d} z={\frac {1}{k}}{\text{arcsin}}[k\,{\text{sn}}(x;k)]

\int _{0}^{x}{\text{dn}}(z;k)\mathrm {d} z={\text{am}}(x;k)

\int _{0}^{x}{\text{cd}}(z;k)\mathrm {d} z={\frac {1}{k}}{\text{artanh}}[k\,{\text{sn}}(x;k)]

\int _{0}^{x}{\text{sd}}(z;k)\mathrm {d} z={\frac {1}{kk'}}{\text{arcsin}}(k)-{\frac {1}{kk'}}{\text{arcsin}}[k\,{\text{cd}}(x;k)]

\int _{0}^{x}{\text{nd}}(z;k)\mathrm {d} z={\frac {1}{k'}}{\text{am}}[x+K(k);k]-{\frac {\pi }{2k'}}

Diese Formeln sind für Module des Bereichs 0 < k < 1 gültig.

Produkte des Sinus Amplitudinis

In der Theorie der elliptischen Funktionen haben Sinus-Amplitudinis-Produkte eine große Bedeutung. Denn elliptisch verwandte Werte der Elliptischen Lambdafunktion stehen generell in folgendem Zusammenhang:

\lambda ^{*}[(2n+1)^{2}w]=\lambda ^{*}(w)^{2n+1}\prod _{k=1}^{n}\operatorname {sn} {\biggl \{}{\frac {2k-1}{2n+1}}K{\bigl [}\lambda ^{*}(w){\bigl ]};\lambda ^{*}(w){\biggr \}}^{4}

Für alle natürlichen Zahlen n ∈ ℕ ist diese Formel gültig. Im nun Folgenden wird die Berechnung einiger Sinus-Amplitudinis-Produkte exemplarisch erläutert:

Dreiteilung:

Gegeben sei:

x={\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]

Dann löst x diese Gleichung:

k^{2}x^{4}-2k^{2}x^{3}+2x-1=0

Die Abfolge der Vorzeichen vor den Koeffizienten ist antisymmetrisch.

Fünfteilung:

Gegeben sei:

x={\text{sn}}[{\tfrac {1}{5}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {3}{5}}K(k);k]

Dann löst x diese Gleichung:

k^{6}x^{6}-4k^{6}x^{5}+5k^{4}x^{4}-5k^{2}x^{2}+4x-1=0

Die Abfolge der Vorzeichen vor den Koeffizienten ist auch antisymmetrisch.

Siebenteilung:

Gegeben sei:

x={\text{sn}}[{\tfrac {1}{7}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {3}{7}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {5}{7}}K(k);k]

Dann löst x diese Gleichung:

k^{12}x^{8}-8k^{12}x^{7}+28k^{10}x^{6}-56k^{8}x^{5}+70k^{6}x^{4}-56k^{4}x^{3}+28k^{2}x^{2}-8x+1=0

Deswegen gilt auch diese Gleichung:

(1-k^{2}x)^{8}=(1-k^{2})(1-k^{14}x^{8})

Die Abfolge der Vorzeichen vor den Koeffizienten ist diesmal symmetrisch.

Elfteilung:

Gegeben sei:

x={\text{sn}}[{\tfrac {1}{11}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {3}{11}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {5}{11}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {7}{11}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {9}{11}}K(k);k]

Dann löst x diese Gleichung:

k^{30}x^{12}+(-32k^{30}+22k^{28})x^{11}+44k^{26}x^{10}-(88k^{24}+22k^{22})x^{9}+165k^{20}x^{8}-132k^{18}x^{7}+(-44k^{16}+44k^{14})x^{6}+

+132k^{12}x^{5}-165k^{10}x^{4}+(22k^{8}+88k^{6})x^{3}-44k^{4}x^{2}+(-22k^{2}+32)x-1=0

Die Abfolge der Vorzeichen vor den Koeffizienten ist nun erneut antisymmetrisch.

Darstellungen der Funktionswerte über die Thetafunktionen

Identitäten

Mit den sogenannten Theta-Nullwertfunktionen vom elliptischen Nomen des Moduls können sehr viele Jacobi-Funktionswerte dargestellt werden:

{\text{sc}}[{\tfrac {2}{3}}K(k);k]={\frac {{\sqrt {3}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{6}]}{{\sqrt {1-k^{2}}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{2}]}}

{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]={\frac {2\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}{3\vartheta _{00}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}={\frac {3\vartheta _{01}[q(k)^{3}]^{2}-\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}{3\vartheta _{01}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}}

{\text{cn}}[{\tfrac {2}{3}}K(k);k]={\frac {3\vartheta _{00}[q(k)^{3}]^{2}-\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}{3\vartheta _{00}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}={\frac {2\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}{3\vartheta _{01}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}}

{\text{sn}}[{\tfrac {1}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{01}[q(k)]}}-1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}

{\text{sn}}[{\tfrac {3}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{01}[q(k)]}}+1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}

{\text{cn}}[{\tfrac {2}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{00}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{00}[q(k)]}}+1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}

{\text{cn}}[{\tfrac {4}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{00}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{00}[q(k)]}}-1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}

Für die Darstellung der Jacobi-Funktionswerte von linken Klammereinträgen jenseits von rational gebrochenen K-Integralen genügen die elementaren Kombinationen von Theta-Nullwertfunktionen und elliptischem Nomen nicht. Hierfür sind die Theta-Nicht-Nullwertfunktionen nach dem oben beschriebenen Muster erforderlich.

Gleichungen für die Ermittlung der Thetaquotienten

Die Gleichung

x^{6}-2x^{5}+\sin[2\arcsin(k)]^{2}(2x+1)=0

hat diese zwei reellen Lösungen:

x_{1}={\frac {5\vartheta _{00}[q(k)^{5}]^{2}}{2\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}=\operatorname {dn} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]+\operatorname {dn} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]

x_{2}={\frac {\vartheta _{00}[q(k)^{1/5}]^{2}}{2\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}={\frac {5\vartheta _{00}[q({\sqrt {1-k^{2}}})^{5}]^{2}}{2\vartheta _{00}[q({\sqrt {1-k^{2}}})]^{2}}}-{\frac {1}{2}}=

=\operatorname {dn} [{\tfrac {2}{5}}K({\sqrt {1-k^{2}}});{\sqrt {1-k^{2}}}]+\operatorname {dn} [{\tfrac {4}{5}}K({\sqrt {1-k^{2}}});{\sqrt {1-k^{2}}}]

Der Wert x₁ ist größer als die goldene Zahl für Werte mit Betrag unter dem Kehrwert der Quadratwurzel aus Zwei.

Die Gleichung:

y^{6}-2y^{5}-\tan[2\arctan(k)]^{2}(2y+1)=0

hat jene zwei reellen Lösungen:

y_{1}={\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{5}]^{2}}{2\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}=\operatorname {nc} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]-\operatorname {nc} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]

y_{2}={\frac {2\vartheta _{01}[q({\sqrt {1-k^{2}}})^{2}]^{2}}{\vartheta _{01}[q({\sqrt {1-k^{2}}})^{2}]^{2}-5\vartheta _{01}[q({\sqrt {1-k^{2}}})^{10}]^{2}}}=

=\operatorname {cn} [{\tfrac {4}{5}}K({\sqrt {1-k^{2}}});{\sqrt {1-k^{2}}}]-\operatorname {cn} [{\tfrac {2}{5}}K({\sqrt {1-k^{2}}});{\sqrt {1-k^{2}}}]

Und die Gleichung:

z^{6}-2z^{5}-{\tfrac {1}{8}}k^{3}\tan[2\arctan(k)](2z+1)=0

hat folgende zwei reellen Lösungen:

z_{1}={\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{2\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-{\frac {1}{2}}

z_{2}={\frac {2\vartheta _{01}[q({\sqrt {1-k^{2}}})]^{2}}{\vartheta _{01}[q({\sqrt {1-k^{2}}})]^{2}-5\vartheta _{01}[q({\sqrt {1-k^{2}}})^{5}]^{2}}}

Außerdem gilt:

x_{1}={\frac {1}{y_{1}^{2}}}{\bigl [}{\sqrt {(y_{1}^{2}+1)(2y_{1}+1)}}+y_{1}+1{\bigr ]}

y_{1}={\frac {1}{x_{1}^{2}}}{\bigl [}{\sqrt {(x_{1}^{2}+1)(2x_{1}+1)}}+x_{1}+1{\bigr ]}

z_{1}={\frac {x_{1}y_{1}}{2}}

Erstes Rechenbeispiel über den Modul λ*(2)

Das genannte Drittelungstheorem soll bei dem Modul k = λ*(2) = sqrt(2) - 1 im Folgenden angewendet werden:

{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K({\sqrt {2}}-1);{\sqrt {2}}-1]={\frac {3\vartheta _{01}[q({\sqrt {2}}-1)^{3}]^{2}-\vartheta _{01}[q({\sqrt {2}}-1)]^{2}}{3\vartheta _{01}[q({\sqrt {2}}-1)^{3}]^{2}+\vartheta _{01}[q({\sqrt {2}}-1)]^{2}}}

Es gilt:

\vartheta _{01}[q({\sqrt {2}}-1)^{3}]=\vartheta _{01}[\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )]=

={\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3{\sqrt {3}}+3{\sqrt {2}}}}\,\vartheta _{01}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=

={\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3{\sqrt {3}}+3{\sqrt {2}}}}\,\vartheta _{01}[q({\sqrt {2}}-1)]

Durch Einsetzen ergibt sich:

${\color {Limegreen}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K({\sqrt {2}}-1);{\sqrt {2}}-1]={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}$

Und analog gilt auch k = λ*(1/2):

${\color {Limegreen}{\text{dn}}{\bigl [}{\tfrac {2}{3}}K{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}{\bigr )};{\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}{\bigr ]}={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}$

Zweites Rechenbeispiel über den Modul λ*(2)

{\text{sn}}[{\tfrac {1}{5}}K({\sqrt {2}}-1);{\sqrt {2}}-1]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{01}[q({\sqrt {2}}-1)^{5}]}{\vartheta _{01}[q({\sqrt {2}}-1)]}}-1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[q({\sqrt {2}}-1)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q({\sqrt {2}}-1)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}=

={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{01}[\exp(5{\sqrt {2}}\,\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp({\sqrt {2}}\,\pi )]}}-1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[\exp(10{\sqrt {2}}\,\pi )]^{2}}{\vartheta _{01}[\exp(2{\sqrt {2}}\,\pi )]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}

{\text{sn}}[{\tfrac {3}{5}}K({\sqrt {2}}-1);{\sqrt {2}}-1]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{01}[q({\sqrt {2}}-1)^{5}]}{\vartheta _{01}[q({\sqrt {2}}-1)]}}+1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[q({\sqrt {2}}-1)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q({\sqrt {2}}-1)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}=

={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{01}[\exp(5{\sqrt {2}}\,\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp({\sqrt {2}}\,\pi )]}}+1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[\exp(10{\sqrt {2}}\,\pi )]^{2}}{\vartheta _{01}[\exp(2{\sqrt {2}}\,\pi )]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}

Es gilt:

{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{01}[\exp(5{\sqrt {2}}\,\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp({\sqrt {2}}\,\pi )]}}={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {2}}\cos({\tfrac {1}{10}}\pi )\cosh[{\tfrac {1}{3}}{\text{artanh}}({\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}})]+{\tfrac {1}{3}}\tan({\tfrac {1}{5}}\pi )={\sqrt {2\,{\text{g}}(50)+1}}

{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{01}[\exp(10{\sqrt {2}}\,\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp(2{\sqrt {2}}\,\pi )]}}={\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{4}]{8}}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )\cot({\tfrac {1}{10}}\pi )+{\tfrac {8}{3}}\sin({\tfrac {1}{8}}\pi )\sin({\tfrac {1}{5}}\pi )\cosh[{\text{artanh}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {3}})-{\tfrac {1}{3}}{\text{artanh}}({\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}})]

Durch Einsetzen ergibt sich:

${\color {Limegreen}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{5}}K({\sqrt {2}}-1);{\sqrt {2}}-1]={\frac {{\tfrac {4}{3}}{\sqrt {2}}\cos({\tfrac {1}{10}}\pi )\cosh[{\tfrac {1}{3}}{\text{artanh}}({\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}})]+{\tfrac {1}{3}}\tan({\tfrac {1}{5}}\pi )-1}{\{{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{4}]{8}}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )\cot({\tfrac {1}{10}}\pi )+{\tfrac {8}{3}}\sin({\tfrac {1}{8}}\pi )\sin({\tfrac {1}{5}}\pi )\cosh[{\text{artanh}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {3}})-{\tfrac {1}{3}}{\text{artanh}}({\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}})]\}^{2}-1}}}$ ${\color {Limegreen}{\text{sn}}[{\tfrac {3}{5}}K({\sqrt {2}}-1);{\sqrt {2}}-1]={\frac {{\tfrac {4}{3}}{\sqrt {2}}\cos({\tfrac {1}{10}}\pi )\cosh[{\tfrac {1}{3}}{\text{artanh}}({\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}})]+{\tfrac {1}{3}}\tan({\tfrac {1}{5}}\pi )+1}{\{{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{4}]{8}}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )\cot({\tfrac {1}{10}}\pi )+{\tfrac {8}{3}}\sin({\tfrac {1}{8}}\pi )\sin({\tfrac {1}{5}}\pi )\cosh[{\text{artanh}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {3}})-{\tfrac {1}{3}}{\text{artanh}}({\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}})]\}^{2}-1}}}$

Vereinfacht können diese beiden Werte mit der Konstante g(50) so ausgedrückt werden:

${\color {Limegreen}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{5}}K({\sqrt {2}}-1);{\sqrt {2}}-1]=(2{\sqrt {5}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {2}})\sec({\tfrac {1}{20}}\pi )\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )^{2}\,{\frac {4\cot({\tfrac {1}{20}}\pi )\cos({\tfrac {3}{20}}\pi )^{2}[{\sqrt {2}}\tan({\tfrac {1}{5}}\pi )-1]\,{\text{g}}(50)-1}{1-4\tan({\tfrac {1}{20}}\pi )\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )^{2}[{\sqrt {2}}\tan({\tfrac {1}{5}}\pi )-1]\,{\text{g}}(50)}}}$ ${\color {Limegreen}{\text{sn}}[{\tfrac {3}{5}}K({\sqrt {2}}-1);{\sqrt {2}}-1]=(2{\sqrt {5}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {2}})\csc({\tfrac {1}{20}}\pi )\cos({\tfrac {3}{20}}\pi )^{2}\,{\frac {1+4\tan({\tfrac {1}{20}}\pi )\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )^{2}[{\sqrt {2}}\tan({\tfrac {1}{5}}\pi )+1]\,{\text{g}}(50)}{4\cot({\tfrac {1}{20}}\pi )\cos({\tfrac {3}{20}}\pi )^{2}[{\sqrt {2}}\tan({\tfrac {1}{5}}\pi )+1]\,{\text{g}}(50)+1}}}$

Auf der Grundlage der im Abschnitt Werte für die Fünfteilung von K genannten Formel können auch diese Formeln aufgestellt werden:

${\color {Limegreen}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{5}}K({\sqrt {2}}-1);{\sqrt {2}}-1]={\frac {{\sqrt {{\text{g}}(50)^{2}+1}}-{\sqrt {2\,{\text{g}}(50)+1}}+{\text{g}}(50)}{{\sqrt {{\text{g}}(50)^{2}+1}}+{\sqrt {2\,{\text{g}}(50)+1}}+{\text{g}}(50)}}}$ ${\color {Limegreen}{\text{sn}}[{\tfrac {3}{5}}K({\sqrt {2}}-1);{\sqrt {2}}-1]={\frac {-{\sqrt {{\text{g}}(50)^{2}+1}}+{\sqrt {2\,{\text{g}}(50)+1}}+{\text{g}}(50)}{{\sqrt {{\text{g}}(50)^{2}+1}}+{\sqrt {2\,{\text{g}}(50)-1}}-{\text{g}}(50)}}}$

Die Konstante g(50) zählt zu den wichtigsten Werten der Ramanujanschen g-Funktion und hat jene Identitäten:

{\color {Navy}{\text{g}}(50)={\tfrac {1}{2}}{\bigl \{}{\tfrac {4}{3}}{\sqrt {2}}\cos({\tfrac {1}{10}}\pi )\cosh[{\tfrac {1}{3}}{\text{artanh}}({\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}})]+{\tfrac {1}{3}}\tan({\tfrac {1}{5}}\pi ){\bigr \}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}=}

{\color {Navy}={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)\cot {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -\arctan {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}{\bigr )}{\bigr ]}=}

{\color {Navy}={\text{nc}}[{\tfrac {4}{5}}K({\sqrt {2}}-1);{\sqrt {2}}-1]-{\text{nc}}[{\tfrac {2}{5}}K({\sqrt {2}}-1);{\sqrt {2}}-1]\approx }

{\color {Navy}\approx 2,12190403802900202926}

Und sie erfüllt folgende zwei Gleichungen:

{\color {Navy}{\text{g}}(50)^{6}-2{\text{g}}(50)^{5}-2{\text{g}}(50)-1=0}

{\color {Navy}{\text{g}}(50)^{3}-{\text{g}}(50)^{2}-{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)[{\text{g}}(50)+1]=0}

Zusatzinformation über diese beiden Werte:

Der Wert
$x={\text{sn}}[{\tfrac {1}{5}}K({\sqrt {2}}-1);{\sqrt {2}}-1]$
löst die Gleichung:
$x^{3}+({\sqrt {2}}+1)\csc({\tfrac {3}{40}}\pi )\sin({\tfrac {7}{40}}\pi )\tan({\tfrac {9}{40}}\pi )x^{2}+({\sqrt {2}}+1)^{2}\tan({\tfrac {9}{40}}\pi )x-({\sqrt {2}}+1)\sec({\tfrac {3}{40}}\pi )\cos({\tfrac {7}{40}}\pi )=0$

Und der Wert
$x={\text{sn}}[{\tfrac {3}{5}}K({\sqrt {2}}-1);{\sqrt {2}}-1]$
löst die Gleichung:
$x^{3}+({\sqrt {2}}+1)\sec({\tfrac {7}{40}}\pi )\cos({\tfrac {3}{40}}\pi )\tan({\tfrac {1}{40}}\pi )x^{2}+({\sqrt {2}}+1)^{2}\tan({\tfrac {1}{40}}\pi )x-({\sqrt {2}}+1)\csc({\tfrac {7}{40}}\pi )\sin({\tfrac {3}{40}}\pi )=0$

Rechenbeispiele über die Module λ(3) und λ(1/3)

Folgende vier äquianharmonischen Werte können analog mit der anderen genannten Gleichung sechsten Grades in der Liste ermittelt werden:

${\color {Limegreen}{\text{cn}}\{{\tfrac {2}{5}}K[\sin({\tfrac {1}{12}}\pi )];\sin({\tfrac {1}{12}}\pi )\}=\tan {\bigl \{}\arctan {\bigl [}{\sqrt[{3}]{10}}\tan({\tfrac {1}{10}}\pi )+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}({\sqrt[{3}]{10}}-1){\bigr ]}-{\tfrac {1}{12}}\pi {\bigr \}}}$ ${\color {Limegreen}{\text{cn}}\{{\tfrac {4}{5}}K[\sin({\tfrac {1}{12}}\pi )];\sin({\tfrac {1}{12}}\pi )\}=\tan {\bigl \{}\arctan {\bigl [}{\sqrt[{3}]{10}}\tan({\tfrac {1}{10}}\pi )-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}({\sqrt[{3}]{10}}-1){\bigr ]}+{\tfrac {1}{12}}\pi {\bigr \}}}$ ${\color {Limegreen}{\text{cn}}\{{\tfrac {2}{5}}K[\cos({\tfrac {1}{12}}\pi )];\cos({\tfrac {1}{12}}\pi )\}=\cot {\bigl \{}\arctan {\bigl [}{\sqrt[{3}]{10}}\cot({\tfrac {1}{5}}\pi )+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}({\sqrt[{3}]{10}}-1){\bigr ]}-{\tfrac {1}{12}}\pi {\bigr \}}}$ ${\color {Limegreen}{\text{cn}}\{{\tfrac {4}{5}}K[\cos({\tfrac {1}{12}}\pi )];\cos({\tfrac {1}{12}}\pi )\}=\cot {\bigl \{}\arctan {\bigl [}{\sqrt[{3}]{10}}\cot({\tfrac {1}{5}}\pi )-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}({\sqrt[{3}]{10}}-1){\bigr ]}+{\tfrac {1}{12}}\pi {\bigr \}}}$

Für die zugehörigen elliptischen Lambda-Stern-Funktionswerte gilt:

\lambda ^{*}(3)=\sin({\tfrac {1}{12}}\pi )={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})

\lambda ^{*}({\tfrac {1}{3}})=\cos({\tfrac {1}{12}}\pi )={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})

Anwendungsbeispiele aus der Physik

Die Schwingungsgleichung für das mathematische Pendel lässt sich für große Ausschlagswinkel über die Jacobi-Funktionen darstellen. Gegeben ist die Differentialgleichung:

\alpha (t)=-{\frac {g}{l}}\cdot \sin[\varphi (t)]

Die Lösung für diese Differentialgleichung lautet wie folgt:

\varphi (t)=2\cdot \arctan {\biggl \{}\tan {\bigl (}{\frac {\varphi _{\text{max}}}{2}}{\bigr )}\cdot \mathrm {cn} \,{\biggl [}{\sqrt {\frac {g}{l}}}\cdot t;\sin {\bigl (}{\frac {\varphi _{\text{max}}}{2}}{\bigr )}{\biggr ]}{\biggr \}}

\omega (t)=-{\sqrt {\frac {g}{l}}}\cdot \sin(\varphi _{\text{max}})\cdot \mathrm {sd} \,{\biggl [}{\sqrt {\frac {g}{l}}}\cdot t;\sin {\bigl (}{\frac {\varphi _{\text{max}}}{2}}{\bigr )}{\biggr ]}

\alpha (t)=-{\frac {g}{l}}\cdot \sin(\varphi _{\text{max}})\cdot \mathrm {cd} \,{\biggl [}{\sqrt {\frac {g}{l}}}\cdot t;\sin {\bigl (}{\frac {\varphi _{\text{max}}}{2}}{\bigr )}{\biggr ]}\cdot \mathrm {nd} \,{\biggl [}{\sqrt {\frac {g}{l}}}\cdot t;\sin {\bigl (}{\frac {\varphi _{\text{max}}}{2}}{\bigr )}{\biggr ]}

Der maximale Ausschlagswinkel $\varphi _{\text{max}}$ sollte weniger als 90° betragen.

Bezug zum Rogers-Ramanujan-Kettenbruch

Der alternierende Rogers-Ramanujan-Kettenbruch S hat diese Beziehung zum Delta-Amplitudinis:

S[q(k)]=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {{\sqrt {5}}\,a(k){\sqrt {2\,b(k)+1}}}{2\,b(k){\sqrt {2\,a(k)+1}}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}

{\text{mit}}\,a(k)={\text{dn}}[{\tfrac {2}{5}}K(k);k]+{\text{dn}}[{\tfrac {4}{5}}K(k);k]={\frac {5\,\vartheta _{00}[q(k)^{5}]^{2}}{2\,\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}

{\text{und}}\,b(k)={\text{dn}}[{\tfrac {2}{5}}K({\sqrt {1-k^{2}}});{\sqrt {1-k^{2}}}]+{\text{dn}}[{\tfrac {4}{5}}K({\sqrt {1-k^{2}}});{\sqrt {1-k^{2}}}]={\frac {\vartheta _{00}[q(k)^{1/5}]^{2}}{2\,\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}

Gleichungen fünften Grades

Generelle Lösungsformel

Für alle reellen Werte w kann die einzige reelle Lösung x von folgender quintischer Gleichung in Bring-Jerrard-Form nach dem nun genannten Verfahren mit der Jacobischen elliptischen Funktion Delta Amplitudinis (dn) ermittelt werden:

x^{5}+x=w

x={\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\cosh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}{\text{arcosh}}{\biggl [}{\frac {5{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(1+2y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}-

-{\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\sinh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}{\text{arsinh}}{\biggl [}{\frac {5y{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(2-y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}

{\text{mit}}\,y={\text{dn}}{\bigl \langle }{\tfrac {2}{5}}K{\bigl \{}{\text{ctlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w){\bigr ]}^{2}{\bigr \}};{\text{ctlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w){\bigr ]}^{2}{\bigr \rangle }+{\text{dn}}{\bigl \langle }{\tfrac {4}{5}}K{\bigl \{}{\text{ctlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w){\bigr ]}^{2}{\bigr \}};{\text{ctlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w){\bigr ]}^{2}{\bigr \rangle }

Diejenige Funktion, welche vom reellen Wert $w$ zum einzigen reellen Wert $x$ führt, wird Bringsches Radikal genannt.

Beispielgleichung

Folgende Gleichung hat eine reelle Lösung, welche nach dem Satz von Abel-Ruffini nicht elementar, aber elliptisch darstellbar ist:

x^{5}+x=3

Reelle Lösung dieser Gleichung:

x={\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\cosh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}\operatorname {arcosh} {\biggl [}{\frac {5{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(1+2y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}-

-{\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\sinh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}\operatorname {arsinh} {\biggl [}{\frac {5y{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(2-y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}

{\text{mit}}\,y={\text{dn}}{\bigl \langle }{\tfrac {2}{5}}K{\bigl \{}{\text{ctlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}){\bigr ]}^{2}{\bigr \}};{\text{ctlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}){\bigr ]}^{2}{\bigr \rangle }+{\text{dn}}{\bigl \langle }{\tfrac {4}{5}}K{\bigl \{}{\text{ctlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}){\bigr ]}^{2}{\bigr \}};{\text{ctlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}){\bigr ]}^{2}{\bigr \rangle }

Genähert ergibt sich:

y\approx 0{,}179975900935040892585184626590049535343533908521815

x\approx 1{,}132997565885065266721141634288532379816526027727

Hyperbolisch lemniskatische Funktionen

Die Funktionsbezeichnung ctlh steht für den Cotangens Lemniscatus Hyperbolicus und die Bezeichnung aclh steht für den Areacosinus Lemniscatus Hyperbolicus.

Diese Funktionen sind so definiert:

\operatorname {ctlh} (A)={\frac {\operatorname {cd} (A;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}{\sqrt[{4}]{\operatorname {cd} (A;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}+\operatorname {sn} (A;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}}}}

\operatorname {aclh} (s)={\tfrac {1}{2}}F[2\operatorname {arccot}(s);{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}]

Mit dem Buchstaben $F$ werden unvollständige elliptische Integrale erster Art dargestellt.

Und die genannte Kombinationsbeziehung hat für alle reellen Werte $s$ diese Identität:

\operatorname {ctlh} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (s){\bigr ]}^{2}=(2s^{2}+2+2{\sqrt {s^{4}+1}})^{-1/2}\left({\sqrt {{\sqrt {s^{4}+1}}+1}}+s\right)

Weblinks

Jacobian Elliptic Functions in NIST Digital Library of Mathematical Functions
Definition in Abramowitz & Stegun (engl.)
Eric W. Weisstein: Jacobi Elliptic Functions. In: MathWorld (englisch).

Literatur

Heinrich Durège: Theorie der elliptischen Functionen. B. G. Teubner, Leipzig 1861.
Charles Hermite: Uebersicht der Theorie der elliptischen Funktionen. Wiegandt & Hempel, Berlin 1863.
Carl Gustav Jakob Jacobi: C. G. J. Jacobi’s gesammelte Werke. G. Reimer, Berlin 1881–1891.
Leo Koenigsberger: Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Functionen, nebst einer Einleitung in die allgemeine Functionenlehre. B. G. Teubner, Leipzig 1874.
Karl Weierstrass: Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen. W. Fr. Kaestner, Göttingen 1883–1885.
Robert Fricke: Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen. Teil 2. B. G. Teubner, Leipzig 1922.
Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, New York 1964, ISBN 0-486-61272-4, Chapter 16.
Naum Iljitsch Achijeser: Elements of the Theory of Elliptic Functions. Moscow 1970, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs, Volume 79, AMS, Rhode Island 1990. ISBN 0-8218-4532-2.
E. T. Whittaker, G. N. Watson: A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press, 1940/1996, ISBN 0-521-58807-3.
Erik Vigren und Andreas Dieckmann: Simple Solutions of Lattice Sums for Electric Fields Due to Infinitely Many Parallel Line Charges. Uppsala, Schweden 2020
E. Zeidler (Hrsg.): Teubner-Taschenbuch der Mathematik. Teubner, Stuttgart/Leipzig 1996, ISBN 3-8154-2001-6.
Derek F. Lawden: Elliptic Functions and Applications. Springer, New York 1989, ISBN 978-0-387-96965-7.
Charles Hermite: Sur la résolution de l’Équation du cinquiéme degré Comptes rendus, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, Nr. 11, März 1858.
Felix Klein: Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades. Math. Annalen, Band 14, 1879, S. 111–144.
Carl Runge: Über die auflösbaren Gleichungen von der Form x⁵+ux+v=0, Acta Mathematica, Band 7, 1885. S. 173–186, doi:10.1007/BF02402200.

Einzelnachweise

↑ Derivative of the Jacobi theta function: Introduction to the Jacobi theta functions. Abgerufen am 20. Juli 2021.
↑ Table of Infinite Products Infinite Sums Infinite Series Elliptic Theta. Abgerufen am 31. August 2021.
↑ Eric W. Weisstein: Quintic Equation. Abgerufen am 26. August 2021 (englisch).

[1] Derivative of the Jacobi theta function: Introduction to the Jacobi theta functions. Abgerufen am 20. Juli 2021.

[2] Table of Infinite Products Infinite Sums Infinite Series Elliptic Theta. Abgerufen am 31. August 2021.

[3] Eric W. Weisstein: Quintic Equation. Abgerufen am 26. August 2021 (englisch).

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