Jacobi-Operator

Ein Jacobi-Operator, nach Carl Gustav Jakob Jacobi (1804–1851), ist ein symmetrischer linearer Operator, der auf Folgen operiert und der in der durch Kronecker-Deltas gegebenen Standardbasis durch eine tridiagonale Matrix, die Jacobi-Matrix, dargestellt wird.

Selbstadjungierte Jacobi-Operatoren

Der wichtigste Fall ist der von selbstadjungierten Jacobi-Operatoren im Hilbertraum der quadratsummierbaren Folgen über den positiven ganzen Zahlen . In diesem Fall ist durch

gegeben, wobei die Koeffizienten

erfüllen. Der zugehörige Operator ist genau dann beschränkt, wenn es die Koeffizienten sind. Im unbeschränkten Fall muss ein geeigneter Definitionsbereich gewählt werden.

Jacobi-Operatoren sind eng mit der Theorie der orthogonalen Polynome verknüpft: Die Lösung der Differenzengleichung

ist ein Polynom vom Grad und diese Polynome sind orthonormal bezüglich des Spektralmaßes das zum ersten Basisvektor gehört.

Anwendungen

Jacobi-Operatoren treten in vielen Bereichen der Mathematik und Physik auf. Der Fall ist als diskreter eindimensionaler Schrödingeroperator bekannt. Sie treten auch im Lax-Paar des Toda-Gitters auf.

Literatur

  • G. Teschl, Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices, Mathematical Surveys and Monographs 72, Amer. Math. Soc., Providence, 2000. ISBN 0-8218-1940-2 (freie Online-Version)