Iwahori-Hecke-Algebra

Iwahori-Hecke-Algebren sind in der Mathematik unter anderem in der geometrischen Darstellungstheorie (etwa bei der Definition des Kazhdan-Lusztig-Polynoms) und in der Knotentheorie (bei der Definition des Jones-Polynoms) von Bedeutung.

Iwahori-Algebren kommen klassisch als Endomorphismenringe in der Darstellungstheorie endlicher Chevalley-Gruppen vor, können aber für alle Coxeter-Gruppen definiert werden. Ihre komplexen Darstellungen hängen eng mit den Darstellungen der assoziierten Coxeter-Gruppen zusammen.

Konstruktion

Sei ${\displaystyle (W,S)}$ ein Coxeter-System mit Längenfunktion ${\displaystyle l}$ und ${\displaystyle {\mathcal {L}}=\mathbb {Z} \left[v,v^{-1}\right]}$ der Ring der Laurent-Polynome.

Die Iwahori-Hecke-Algebra ist die assoziative ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-Algebra mit Erzeugern ${\displaystyle H_{s}}$ für alle ${\displaystyle s\in S}$ und Relationen

${\displaystyle H_{s}^{2}=1+(v^{-1}-v)H_{s}}$

${\displaystyle H_{s}H_{t}\ldots H_{s}=H_{t}H_{s}\ldots H_{t}}$ für ${\displaystyle st\ldots s=ts\ldots t}$

${\displaystyle H_{s}H_{t}H_{s}\ldots H_{t}=H_{t}H_{s}H_{t}\ldots H_{s}}$ für ${\displaystyle sts\ldots t=tst\ldots s}$

Für eine reduzierte Zerlegung ${\displaystyle w=s_{1}\ldots s_{n}}$ bezeichne ${\displaystyle H_{w}=H_{s_{1}}\ldots H_{s_{n}}}$. Dann hat man die folgenden Eigenschaften.

Aus ${\displaystyle l(w_{1})+l(w_{2})=l(w_{1}w_{2})}$ folgt ${\displaystyle H_{w_{1}w_{2}}=H_{w_{1}}H_{w_{2}}}$.

Die ${\displaystyle H_{s}}$ sind invertierbar: ${\displaystyle H_{s}^{-1}=H_{s}+(v-v^{-1})}$

Es gibt auf ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ eine eindeutige Involution ${\displaystyle H\to {\overline {H}}}$ mit ${\displaystyle {\overline {v}}=v^{-1}}$ und ${\displaystyle {\overline {H_{s}}}=(H_{s^{-1}})^{-1}}$ für ${\displaystyle s\in S}$.

Literatur

• Kapitel 7 in: James Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 29. Cambridge: Cambridge University Press (1992).

Weblinks

• G. Hiss: Iwahori-Hecke algebras and Kazhdan-Lusztig polynomials
• W. Soergel: Kazhdan-Lusztig-Polynome und eine Kombinatorik für Kipp-Moduln