Hochhebungseigenschaft

Die Hochhebungseigenschaft (englisch Lifting property) ist ein Begriff aus der Kategorientheorie. Er bezeichnet eine Eigenschaft zweier Morphismen. Sie spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der Modellkategorien. Ein wichtiger Spezialfall der Hochhebungsseigenschaft ist die Homotopie-Hochhebungseigenschaft aus der Topologie.

Definition

Zwei Morphismen und in einer Kategorie haben die Hochhebungseigenschaft, notiert , falls für jeden Morphismus und in mit ein Morphismus existiert, genannt Hochhebung (en. Lift), so dass und .

Das heißt, für das mittels der durchgezogenen Linien dargestellte kommutative Diagramm existiert ein Morphismus , so dass folgendes Diagramm kommutiert:

Hochhebungseigenschaft.png

Man sagt, hat die linke Hochhebungseigenschaft und die rechte Hochhebungseigenschaft.

Erläuterungen

Wenn eindeutig ist, nennt man orthogonal zu und schreibt .

Seien , dann hat die linke Hochhebungseigenschaft und die rechte Hochhebungseigenschaft, geschrieben , wenn für alle , gilt .

Für ein lassen sich somit die Mengen der zu links bzw. rechts orthogonalen definieren:

Beispiele

  • In der Kategorie der Mengen ist eine Funktion genau dann injektiv, wenn sie die rechte Hochhebungseigenschaft bezüglich hat, und genau dann surjektiv, wenn sie die rechte Hochhebungseigenschaft bezüglich hat.
  • Sei ein topologischer Raum und eine Überlagerung von mit Überlagerungsabbildung . Sei die einelementige Menge und , dann hat der Morphismus , der die einelementige Menge auf abbildet, die linke Hochhebungseigenschaft bezüglich . Sei ein Weg und Morphismus, der die einelementige Menge auf einen beliebigen Punkt abbildet, dann gibt es genau einen Morphismus , so dass das obige Diagramm kommutiert.

Literatur

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Hochhebungseigenschaft.png
Autor/Urheber: Tensorproduct, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Diagram for the lifting property from category theory