Gieseking-Konstante

Die Gieseking-Konstante ist eine mathematische Konstante, die das maximale Volumen hyperbolischer Tetraeder angibt.^[1][2] Sie ist nach Hugo Gieseking (1887–1915) benannt, der 1912 aus einem solchen Tetraeder durch Verschmelzung von Seitenflächen die Gieseking-Mannigfaltigkeit konstruierte.^[3] Colin Adams konnte 1987 nachweisen, dass die Gieseking-Mannigfaltigkeit die eindeutige nichtkompakte hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit mit minimalem Volumen ist.^[4] Die Gieseking-Konstante wird nach Nikolai Lobatschewski auch Lobatschewski-Konstante genannt.^[5]

Definition

Die Gieseking-Konstante ist definiert als

${\displaystyle G=\int _{0}^{2\pi /3}\ln \left(2\cos {\tfrac {t}{2}}\right){\mathrm {d} }t=1,01494\;16064\;09653\;62502\;12025\;54274\;52028\;59416\;89307\;53029\;\ldots }$

(siehe die Folge A143298 in OEIS).

Weitere Darstellungen

Alternative Schreibweisen der Gieseking-Konstante sind

${\displaystyle G={\rm {Cl_{2}}}\left({\frac {1}{3}}\pi \right)}$,

wobei ${\displaystyle {\rm {Cl_{2}}}}$ die Clausen-Funktion ist,

${\displaystyle G={\frac {1}{36}}i\left(\pi ^{2}-36{\rm {Li_{2}}}(-(-1)^{2/3})\right)={\frac {1}{2}}i\left({\rm {Li_{2}}}((-1)^{2/3})-{\rm {Li_{2}}}((-1)^{1/3})\right)}$,

wobei ${\displaystyle {\rm {Li_{2}}}}$ der (klassische) Dilogarithmus ist,

${\displaystyle G=D\left({\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}$,

wobei ${\displaystyle D}$ der Bloch-Wigner-Dilogarithmus ist,

${\displaystyle G=3\Lambda \left({\frac {\pi }{3}}\right)}$,

wobei ${\displaystyle \Lambda }$ die Lobatschewski-Funktion ist, und

${\displaystyle G={\frac {9-\psi _{1}\left({\tfrac {2}{3}}\right)+\psi _{1}\left({\tfrac {4}{3}}\right)}{4{\sqrt {3}}}}}$,

wobei ${\displaystyle \psi _{1}}$ die Trigamma-Funktion ist.

Reihenentwicklung

Die Gieseking-Konstante besitzt die Reihenentwicklung

${\displaystyle G={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(3k+1)^{2}}}-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(3k+2)^{2}}}\right)={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\left(1-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}-{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}-{\frac {1}{8^{2}}}\pm \ldots \right)}$.

Literatur

• Colin C. Adams: The newest inductee in the number hall of fame, Mathematics Magazine 71, Dezember 1998, S. 341–349 (englisch; Zentralblatt-Rezension)
• Steven R. Finch: Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 233 (englisch; Finchs Webseite zum Buch mit Errata und Addenda: Mathematical Constants.)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Gieseking’s Constant. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. ↑ Adams: The newest inductee in the number hall of fame. 1998 (englisch)
2. ↑ John W. Milnor: Hyperbolic geometry: The first 150 years. In: Bulletin of the AMS, 6, Januar 1982, S. 9–24 (englisch; Zentralblatt-Rezension; „This works out as 1.0149416....“ auf S. 20)
3. ↑ Hugo Gieseking: Analytische Untersuchungen über topologische Gruppen. L. Wiegand, Hilchenbach 1912 (Inaugural-Dissertation an der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster; mit Lebenslauf bis 1911; Jahrbuch-Rezension)
4. ↑ Colin C. Adams: The noncompact hyperbolic 3-manifold of minimal volume. In: Proceedings of the AMS, 100, August 1987, S. 601–606 (englisch; Zentralblatt-Rezension; „v = 1.01494....“ auf S. 602)
5. ↑ Steven R. Finch: Volumes of Hyperbolic 3-Manifolds. (Memento des Originals vom 19. September 2015 im Internet Archive; PDF; 366 kB)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.people.fas.harvard.edu 5. September 2004, S. 4 (englisch)