Geschwindigkeitspotential

Das Geschwindigkeitspotential ${\displaystyle \phi }$ führt man für wirbelfreie, zwei- und dreidimensionale Strömungen der Fluiddynamik ein. Mit ihm vereinfachen sich die Rechnungen und man gewinnt ein tieferes mathematisch-physikalisches Verständnis. Das Geschwindigkeitspotential der Fluiddynamik entspricht mathematisch dem elektrostatischen bzw. dem Gravitationspotential.

Dieser Artikel behandelt den zweidimensionalen Fall – der dreidimensionale ist im Artikel Potentialströmung dargestellt.

Löst man die Gleichung ${\displaystyle \phi (x,y)={\text{const.}}}$, so erhält man die Äquipotentiallinien des Strömungsfeldes.

Außerdem führt man die Stromfunktion ${\displaystyle \psi }$ ein, deren anschauliche Bedeutung darin besteht, dass die Lösungen der Gleichung ${\displaystyle \psi (x,y)={\text{const.}}}$ die Stromlinien des Geschwindigkeitspotentiales darstellen.

Aus dem Geschwindigkeitspotential und der Stromfunktion bildet man das komplexe Geschwindigkeitspotential.

Grundlagen

Für ein wirbelfreies zweidimensionales Strömungsfeld ${\displaystyle {\vec {u}}(x,y)}$ gilt, dass die Rotation gleich 0 ist:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {u}}(x,y)=0}$

Ähnlich wie im Fall des elektrostatischen Potentials führt man nun das Geschwindigkeitspotential ${\displaystyle \phi (x,y)}$ ein. Der Gradient dieses Potentials ist dabei gerade das Strömungsfeld:

${\displaystyle {\vec {u}}(x,y)={\vec {\nabla }}\phi (x,y)=\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right)}$

Wegen ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\phi (x,y)=0}$ ist das Strömungsfeld automatisch wirbelfrei.

Ferner gilt für das Geschwindigkeitsfeld im Falle einer inkompressiblen Strömung auch die Kontinuitätsgleichung:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}(x,y)=0}$

Setzt man darin die Definition des Geschwindigkeitspotentials ein, so sieht man, dass ${\displaystyle \phi (x,y)}$ die Laplace-Gleichung (als Sonderfall der Poisson-Gleichung) erfüllt:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}(x,y)={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\phi (x,y)=\Delta \phi (x,y)=0}$

Die Stromfunktion

Das Geschwindigkeitspotential ${\displaystyle \phi (x,y)}$ wurde so eingeführt, dass die Wirbelfreiheit automatisch erfüllt ist. Allerdings musste die Erfüllung der Kontinuitätsgleichung bzw. der Laplace-Gleichung explizit gefordert werden.

Nun führt man die Stromfunktion ${\displaystyle \psi (x,y)}$ ein, die definiert ist durch:

${\displaystyle {\vec {u}}=\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}},-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)}$

Aus dieser Definition sieht man, dass die Kontinuitätsgleichung automatisch erfüllt ist:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x\cdot \partial y}}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y\cdot \partial x}}=0}$

Die Rotationsfreiheit muss allerdings explizit gefordert werden:

${\displaystyle {\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}=0}$

Die Stromfunktion erfüllt in wirbelfreien Strömungen ebenfalls die Laplace-Gleichung.

Komplexes Geschwindigkeitspotential

Mit den Definitionen von Geschwindigkeitspotential ${\displaystyle \phi }$ und Stromfunktion ${\displaystyle \psi }$ ergibt sich:

${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial \phi }{\partial x}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}\quad \wedge \quad u_{y}={\frac {\partial \phi }{\partial y}}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$

Dies ist exakt von der Form der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen für eine holomorphe Funktion, mit Realteil ${\displaystyle \phi }$ und Imaginärteil ${\displaystyle \psi }$. Somit führt man das komplexe Geschwindigkeitspotential ${\displaystyle w(z)}$ ein:

${\displaystyle w(z)=\phi (z)+i\cdot \psi (z)\quad {\textrm {mit}}\quad z=x+i\cdot y}$

Damit erfüllt das komplexe Geschwindigkeitspotential ebenfalls die Laplace-Gleichung:

${\displaystyle \Delta w(z)=\Delta \phi (z)+i\cdot \Delta \psi (z)=0}$

Literatur

• M. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. Springer, 2006, ISBN 978-3-540-33796-6. 
• Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Springer, 2003, ISBN 3-540-00760-1.