Generalisierter Impuls

Der generalisierte Impuls, auch verallgemeinerter, kanonischer, kanonisch konjugierter, oder konjugierter Impuls, tritt sowohl in der Hamiltonschen Mechanik als auch in der Lagrange-Mechanik auf. Zusammen mit dem konjugierten Ort kennzeichnet er den jeweiligen Zustand des Systems, der sich mit der Zeit gemäß den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen ändert.

Als Funktion des Ortes ${\displaystyle q}$ und der Geschwindigkeit ${\displaystyle {\dot {q}}}$ ist der generalisierte Impuls die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion ${\displaystyle L}$ nach der Geschwindigkeit:

${\displaystyle p_{j}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\,,\ j=1....n}$

Beim Übergang von der klassischen Physik zur Quantenmechanik wird der kanonische Impuls (im Gegensatz zum kinetischen Impuls) durch den Impulsoperator ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ersetzt:

${\displaystyle p_{j}\rightarrow {\hat {p}}_{j}=-\hbar i{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$

Beispiele

Klassische Bewegung

• Bei Bewegung eines Teilchens der Masse ${\displaystyle m}$ in einem Potential ${\displaystyle V(\mathbf {x} ,t)}$ ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\,m\,{\dot {\mathbf {x} }}^{2}-V(\mathbf {x} ,t)}$

ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls:

${\displaystyle \mathbf {p} =m{\dot {\mathbf {x} }}}$

• Bei Bewegung eines Teilchens der Masse ${\displaystyle m}$ in einem Potential ${\displaystyle V(r,\varphi ,z,t)}$ in Zylinderkoordinaten

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\,m{\bigl (}{\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+{\dot {z}}^{2}{\bigr )}-V(r,\varphi ,z,t)}$

ist der zum Winkel konjugierte generalisierte Impuls die Komponente des Drehimpulses in Richtung der Zylinderachse:

${\displaystyle p_{\dot {\varphi }}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=m\,r^{2}{\dot {\varphi }}}$

• Bei Bewegung einer Punktladung ${\displaystyle q}$ mit Masse ${\displaystyle m}$ im elektromagnetischen Feld (${\displaystyle \phi }$ ist das elektrische Potential)

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\,m\,{\dot {\mathbf {x} }}^{2}-q\,\phi (t,\mathbf {x} )+q\,{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} (t,\mathbf {x} )}$

hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential ${\displaystyle \mathbf {A} }$ des Feldes:

${\displaystyle \mathbf {p} =m\,{\dot {\mathbf {x} }}+q\,\mathbf {A} (t,\mathbf {x} )}$

Relativistische Bewegung

• Bei der relativistischen Bewegung eines Teilchens der Masse ${\displaystyle m_{0}}$ in einem Potential ${\displaystyle V(\mathbf {x} ,t)}$ ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten

${\displaystyle L=-m_{0}\,c^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}-V(\mathbf {x} ,t)}$

ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls:

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {m_{0}\,{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}}$

• Bei relativistischer Bewegung einer Punktladung ${\displaystyle q}$ mit der Masse ${\displaystyle m_{0}}$ im elektromagnetischen Feld

${\displaystyle L=-m_{0}\,c^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}-q\,\phi (t,\mathbf {x} )+q\,{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} (t,\mathbf {x} )}$

hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential des Feldes:

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {m_{0}\,{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\,\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}$

Literatur

• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.