Freies Produkt

In der Algebra versteht man unter dem freien Produkt eine bestimmte Konstruktion einer Gruppe aus zwei oder mehr gegebenen Gruppen. Man kann sich das freie Produkt als eine nicht-kommutative Entsprechung der direkten Summe vorstellen, ungefähr wie eine Entsprechung von nichtkommutativen Gruppen zu abelschen Gruppen.

Konstruktion

Hat man eine Familie ${\displaystyle (G_{i})_{i\in I}}$ von (beliebigen) Gruppen gegeben, so besteht das freie Produkt ${\displaystyle \mathop {*} _{i\in I}G_{i}}$ aus der Menge aller endlichen Wörter ${\displaystyle g_{i_{1}}\cdots g_{i_{k}}}$ (für gewisse ${\displaystyle i_{j}\in I}$ und ${\displaystyle g_{i_{j}}\in G_{i_{j}}}$), wobei folgende Konventionen gelten sollen:

• Jedes Element ${\displaystyle g_{i}}$ ist vom Einheitselement in ${\displaystyle G_{i}}$ verschieden.
• ${\displaystyle g_{i_{j}}}$ und ${\displaystyle g_{i_{j+1}}}$ sind nicht aus derselben Gruppe.

Wörter, die diese Bedingungen erfüllen, nennt man reduziert. Das leere Wort gilt auch als reduziert.

Durch die Anwendung der folgenden beiden Regeln kann ein beliebiges Wort stets zu einem eindeutig bestimmten reduzierten Wort überführt werden:

• Sind ${\displaystyle g_{i_{j}}}$ und ${\displaystyle g_{i_{j+1}}}$ aus derselben Gruppe, also ${\displaystyle i_{j}=i_{j+1}}$, ersetze die beiden Elemente durch das Produkt ${\displaystyle g_{i_{j}}\circ _{G_{i_{j}}}g_{i_{j+1}}}$ der beiden in der Gruppe.
• Ist ${\displaystyle g_{i}}$ das neutrale Element von ${\displaystyle G_{i}}$, so streiche es aus dem Wort.

Auf der Menge der reduzierten Wörter ${\displaystyle \mathop {*} _{i\in I}G_{i}}$ zusammen mit dem leeren Wort als Einheitselement kann man nun eine Gruppenstruktur definieren. Man definiert das Produkt durch Hintereinanderschreiben

${\displaystyle (g_{i_{1}}\cdots g_{i_{k}})\cdot (h_{j_{1}}\cdots h_{j_{l}}):=g_{i_{1}}\cdots g_{i_{k}}h_{j_{1}}\cdots h_{j_{l}}}$

und gegebenenfalls Übergang zu einem reduzierten Wort durch Anwendung obiger Regeln.

Jede Gruppe ${\displaystyle G_{i}}$ kann man als Untergruppe in ${\displaystyle \mathop {*} _{i\in I}G_{i}}$ ansehen, indem man ${\displaystyle G_{i}}$ mit der Menge der Wörter, die nur aus einem Element ${\displaystyle g\in G_{i}}$ und dem Einselement bestehen, identifiziert.^[1]

Universelle Eigenschaft

Setze ${\displaystyle G=\mathop {*} _{i\in I}G_{i}}$ und schreibe ${\displaystyle \mathrm {ins} _{i}\colon G_{i}\to G}$ für die einbettende Abbildung.

Das freie Produkt von Gruppen erfüllt die folgende universelle Eigenschaft:

Sind ${\displaystyle \varphi _{i}\colon G_{i}\to H}$ Homomorphismen, so gibt es genau einen Homomorphismus ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$, sodass ${\displaystyle \varphi \circ \mathrm {ins} _{i}=\varphi _{i}}$

gelten. (Man vergleiche die entsprechende universelle Eigenschaft für das direkte Produkt: Das freie Produkt erfüllt genau die duale universelle Eigenschaft und ist demzufolge ein Beispiel für ein Koprodukt).

Beispiele

• Sind ${\displaystyle (X,x)}$ und ${\displaystyle (Y,y)}$ punktierte topologische Räume, und betrachtet man die Einpunktvereinigung (engl. wedge) ${\displaystyle X\vee Y}$ der beiden Räume, das heißt, die beiden Räume an den Punkten ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ zusammen, so ist die Fundamentalgruppe des entstandenen Raumes gleich dem freien Produkt der Fundamentalgruppen der ursprünglichen Räume:

${\displaystyle \pi _{1}(X\vee Y)=\pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y)}$.

Der Satz von Seifert und van Kampen verallgemeinert dieses Prinzip für Vereinigungen von Räumen, die einen komplizierteren Durchschnitt haben (im eben genannten Fall ist der Durchschnitt ein Punkt).

• Das freie Produkt von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ mit sich selbst, das heißt ${\displaystyle \mathbb {Z} *\mathbb {Z} }$, ist isomorph zur von zwei Elementen erzeugten freien Gruppe. Topologisch ergibt sie sich nach Obigem als Fundamentalgruppe einer Einpunktvereinigung von zwei Kreisen, das heißt einer Acht.
• Allgemeiner gilt: Das freie Produkt freier Gruppen ist wieder eine freie Gruppe, dabei addieren sich die Mächtigkeiten der Erzeugendensysteme.^[2]
• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2}\cong D_{\infty }}$.^[3] Dabei ist ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ die zyklische Gruppe mit 2 Elementen und ${\displaystyle D_{\infty }}$ die unendliche Diedergruppe.
• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{3}\cong \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$.^[4] Die rechte Seite ist dabei die Faktorgruppe aus der speziellen linearen Gruppe mit Koeffizienten aus ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ nach ihrem Zentrum.

Siehe auch

• Kartesisches Produkt
• Amalgamiertes Produkt
• Freie Gruppe
• Direkte Summe
• Graphentheorie
• Koprodukt
• Untergruppensatz von Kurosch

Einzelnachweise

1. ↑ D. J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Kapitel 6.2: Free Products of Groups
2. ↑ D. J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Kapitel 6.2: Examples of Free Products, Example I
3. ↑ D. J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Kapitel 6.2: Examples of Free Products, Example II
4. ↑ D. J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Kapitel 6.2: Examples of Free Products, Example III