Formelsammlung Analysis

Folgen und Reihen

Arithmetische und geometrische Folgen

Arithmetische Folge

${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=d\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} n}$

${\displaystyle a_{n}={\tfrac {1}{2}}(a_{n-1}+a_{n+1})}$

${\displaystyle \,a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$

Geometrische Folge

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=q\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} n,q\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}$

${\displaystyle a_{n}={\sqrt {a_{n-1}\cdot a_{n+1}}}}$

${\displaystyle a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}}$

Grenzwerte: Definition (Folgen)

• Die Folge ${\displaystyle (a_{n})}$ heißt Nullfolge, wenn es zu jedem ${\displaystyle \epsilon >0}$ eine Nummer ${\displaystyle n_{0}}$ gibt, sodass für alle Folgeglieder mit höherer Nummer, also ${\displaystyle n>n_{0}}$ gilt:

${\displaystyle \,|a_{n}|<\epsilon }$

• Eine Folge ${\displaystyle (a_{n})}$ hat den Grenzwert a, wenn die Folge ${\displaystyle (a_{n}-a)}$ den Grenzwert 0 hat.
• Folgen ohne Grenzwert heißen divergent.
• Eine Folge heißt beschränkt, wenn es eine Zahl ${\displaystyle K>0}$ gibt, sodass ${\displaystyle |f_{n}|<K}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt.

Grenzwertsätze (Folgen)

Hat die Folge ${\displaystyle (a_{n})}$ den Grenzwert a, die Folge ${\displaystyle (b_{n})}$ den Grenzwert b, so gilt:

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=a\pm b}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=a\cdot b}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {a}{b}}\qquad b\not =0}$

Funktionen (formale Eigenschaften)

Grenzwerte von Funktionen

• [Definition, Eigenschaften, Grenzwertsätze analog]

Regel von de L’Hospital

Sei ${\displaystyle f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}.}$

Voraussetzungen:

• Es gibt eine Stelle ${\displaystyle a}$, sodass ${\displaystyle u(a)}$ und ${\displaystyle v(a)}$ entweder Null sind oder bestimmt divergieren
• ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$ sind in einer Umgebung von ${\displaystyle a}$ differenzierbar
• Der Grenzwert ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {u'(x)}{v'(x)}}}$ existiert.

Dann gilt:

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {u(x)}{v(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {u'(x)}{v'(x)}}}$

Einseitige Grenzwerte

Die Funktion ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} \;}$ hat für ${\displaystyle x\to p+}$ den Limes ${\displaystyle L\;}$, wenn es zu jedem (noch so kleinen) ${\displaystyle \varepsilon >0\;}$ ein ${\displaystyle \delta >0\;}$ gibt, sodass für alle ${\displaystyle x\;}$-Werte aus dem Definitionsbereich ${\displaystyle X\;}$ von ${\displaystyle f\;}$, die der Bedingung ${\displaystyle 0<x-p<\delta \;}$ genügen, auch ${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon \;}$ gilt.

In diesem Falle nennt man den Grenzwert ${\displaystyle \lim _{x\to p+}f(x):=L}$ konvergent.

Stetigkeit

Eine Funktion ${\displaystyle f}$ heißt an einer Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ stetig, wenn der Grenzwert von ${\displaystyle f}$ für ${\displaystyle x}$ gegen ${\displaystyle x_{0}}$ existiert und mit dem Funktionswert ${\displaystyle f(x_{0})}$ übereinstimmt

${\displaystyle f(x_{0})=\lim _{h\to 0}f(x_{0}+h)=\lim _{h\to 0}f(x_{0}-h)=\lim _{x\to x_{0}}f(x)}$

• Epsilon-Delta-Kriterium:${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$ ist stetig in ${\displaystyle x_{0}\in D}$, wenn
  zu jedem ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ein ${\displaystyle \delta >0}$ existiert, so dass für alle ${\displaystyle x\in D}$ mit ${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$ gilt: ${\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon }$.
• Folgenkriterium: ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$ ist stetig in ${\displaystyle x_{0}\in D}$, wenn für jede Folge ${\displaystyle (x_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ mit Elementen ${\displaystyle x_{k}\in D}$, die gegen ${\displaystyle x_{0}}$ konvergiert, auch ${\displaystyle f(x_{k})}$ gegen ${\displaystyle f(x_{0})}$ konvergiert.

Grundlegendes

Zwischenwertsatz

Eine im Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ (${\displaystyle a<b}$) stetige Funktion ${\displaystyle f}$ nimmt jeden Funktionswert zwischen ${\displaystyle f(a)}$ und ${\displaystyle f(b)}$ mindestens einmal an.

Spezialfall: Nullstellensatz

Eine in ${\displaystyle I}$ stetige Funktion, bei der ${\displaystyle f(a)}$ und ${\displaystyle f(b)}$ verschiedene Vorzeichen haben, hat dort mindestens eine Nullstelle.

Extremwertsatz

Eine in einem Intervall stetige Funktion hat dort stets einen größten und einen kleinsten Funktionswert.

Mittelwertsatz

Es sei ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ auf dem abgeschlossenen Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ (${\displaystyle a<b}$) stetig und differenzierbar. Dann gibt es mindestens ein ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$, so dass

${\displaystyle f'\left(x_{0}\right)={\frac {f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}}}$

gilt.

Differentialrechnung

Differenzierbarkeit: Definitionen

Eine Funktion ${\displaystyle f}$ ist genau dann differenzierbar an einer Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ ihres Definitionsbereichs, wenn der Grenzwert

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$

existiert. Diesen Grenzwert bezeichnet man als die Ableitung von ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$.

Geometrisches: Tangenten

Tangentengleichung zu ${\displaystyle f}$ im Punkt ${\displaystyle P(x_{0}|f(x_{0}))}$

${\displaystyle y=f'(x_{0})\!\,(x-x_{0})+f(x_{0})}$

Normale (Senkrechte)

${\displaystyle y={\frac {-1}{f'(x_{0})}}(x-x_{0})+f(x_{0})}$

Ableitungsregeln

Konstante Funktion

${\displaystyle \left(a\right)'=0}$

Faktorregel

${\displaystyle (a\cdot f)'=a\cdot f'}$

Summenregel

${\displaystyle \left(g\pm h\right)'=g'\pm h'}$

Produktregel

${\displaystyle (g\cdot h)'=g'\cdot h+g\cdot h'}$

Quotientenregel

${\displaystyle \left({\frac {g}{h}}\right)'={\frac {g'\cdot h-g\cdot h'}{h^{2}}}}$

Potenzregel

${\displaystyle \left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}}$

Kettenregel

${\displaystyle (g\circ h)'(x)=(g(h(x)))'=g'(h(x))\cdot h'(x)}$

Ableitung der Potenzfunktion ${\displaystyle f(x)=g(x)^{h(x)}}$

${\displaystyle f'(x)=\left(h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)g(x)^{h(x)}}$.

Leibnizsche Regel

Die Ableitung ${\displaystyle n}$-ter Ordnung für ein Produkt aus zwei ${\displaystyle n}$-fach differenzierbaren Funktionen ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ ergibt sich aus

${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}}$.

Die hier auftretenden Ausdrücke der Form ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ sind Binomialkoeffizienten.

Formel von Faà di Bruno

Diese Formel ermöglicht die geschlossene Darstellung der ${\displaystyle n}$-ten Ableitung der Komposition zweier ${\displaystyle n}$-fach differenzierbarer Funktionen. Sie verallgemeinert die Kettenregel auf höhere Ableitungen.

Ableitungen wichtiger Funktionen

siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

Geometrische Anwendungen: Eigenschaften von Kurven (Kurvendiskussion)

Betrachtet wird ${\displaystyle f\colon x\mapsto f(x)}$

Gebrochenrationale Funktionen

Funktionsterm:

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{z}x^{z}+a_{z-1}x^{z-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}}={\frac {P_{z}(x)}{Q_{n}(x)}}}$

• Einteilung
  • Ist das Nennerpolynom ${\displaystyle Q_{n}}$ vom Grad 0 (also n = 0 und b₀ ≠ 0) und ist ${\displaystyle P_{z}}$ nicht das Nullpolynom, so spricht man von einer ganzrationalen oder einer Polynomfunktion.
  • Ist n > 0 , so handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion.
  • Ist n > 0 und z < n, so handelt es sich um eine echt gebrochenrationale Funktion.
  • Ist n > 0 und z ≥ n, so handelt es sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion. Sie kann mittels Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion aufgeteilt werden.
• Definitionsbereich
  • ${\displaystyle \mathbb {D} =\mathbb {R} \setminus \lbrace x_{0}\mid Q_{n}(x_{0})=0\rbrace }$
• Asymptotisches Verhalten: Für ${\displaystyle x\to \infty }$ strebt ${\displaystyle f(x)}$
  • [falls ${\displaystyle z>n}$] gegen ${\displaystyle \operatorname {sgn}(a_{z})\cdot \operatorname {sgn}(b_{n})\cdot \infty }$, wobei sgn die Vorzeichenfunktion bezeichnet.
  • [falls ${\displaystyle z=n}$] gegen ${\displaystyle {\tfrac {a_{z}}{b_{n}}}}$
  • [falls ${\displaystyle z<n}$] gegen 0 (die x-Achse)
• Symmetrie
  • Sind ${\displaystyle P_{z}}$ und ${\displaystyle Q_{n}}$ beide gerade oder beide ungerade, so ist ${\displaystyle f}$ gerade (symmetrisch zur y-Achse).
  • Ist ${\displaystyle P_{z}}$ gerade und ${\displaystyle Q_{n}}$ ungerade, so ist ${\displaystyle f}$ ungerade (punktsymmetrisch zum Ursprung); Gleiches gilt, wenn ${\displaystyle P_{z}}$ ungerade und ${\displaystyle Q_{n}}$ gerade ist.
• Polstellen: ${\displaystyle x_{p}}$ heißt Polstelle von ${\displaystyle f}$, wenn
  • ${\displaystyle Q_{n}(x_{p})=0\quad {\text{und}}\quad P_{z}(x_{p})\neq 0.}$
• Asymptoten: Mittels Polynomdivision von ${\displaystyle p}$ durch ${\displaystyle q}$ erhält man ${\displaystyle p=g\cdot q+r}$ mit Polynomen ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle r}$, wobei der Grad von ${\displaystyle r}$ kleiner als der von ${\displaystyle q}$ ist. Das asymptotische Verhalten von ${\displaystyle f={\tfrac {p}{q}}=g+{\tfrac {r}{q}}}$ ist damit durch die ganzrationale Funktion ${\displaystyle g}$ bestimmt:
  • ${\displaystyle [z<n]\,}$ x-Achse ist Asymptote: ${\displaystyle g(x)=0}$
  • ${\displaystyle [z=n]\,}$ waagerechte Asymptote: ${\displaystyle g(x)={\frac {a_{z}}{b_{n}}}}$
  • ${\displaystyle [z=n+1]\,}$ schräge Asymptote: ${\displaystyle g(x)=mx+c\,;m\neq 0}$
  • ${\displaystyle [z>n+1]\,}$ ganzrationale Näherungsfunktion

Integralrechnung

Flächenberechnung

Der Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f(x) im Intervall von a bis b ist

• ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\qquad {\text{falls }}f(x)\geq 0\forall x\in [a,b]}$
• ${\displaystyle -\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\qquad {\text{falls }}f(x)\leq 0\forall x\in [a,b]}$
• Andernfalls ist das Intervall durch Bestimmung der Nullstellen in solche Teilintervalle zu zerlegen.

Eigenschaften des bestimmten Integrals

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=-\int _{b}^{a}f(x)\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \int _{a}^{a}f(x)\mathrm {d} x=0}$

${\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x+\int _{b}^{c}f(x)\mathrm {d} x,\qquad a<b<c}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}k\cdot f(x)\mathrm {d} x=k\cdot \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x}$

Integralfunktion und Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Integralfunktion

${\displaystyle F_{a}(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\mathrm {d} t}$

Hauptsatz der Infinitesimalrechnung

${\displaystyle F_{a}(x)'=f(x)\,}$

Stammfunktion

Jede Funktion ${\displaystyle F}$ heißt Stammfunktion von ${\displaystyle f}$, wenn für alle x des Definitionsbereichs gilt

${\displaystyle F'(x)=f(x)\,}$

Dies bezeichnet der Ausdruck ${\displaystyle \int f(x)\mathrm {d} x}$

Integration

Ist F irgendeine Stammfunktion von f, so gilt

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=F(b)-F(a)}$

Spezielle Stammfunktionen

Die Stammfunktionen von ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$ sind

${\displaystyle F(x)={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+c,\qquad n\not =-1}$

Alles weitere siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

Integrationsmethoden

Produkt-, Teil- oder partielle Integration

• unbestimmt

  ${\displaystyle \int f(x)g'(x)\mathrm {d} x=f(x)\cdot g(x)-\int f'(x)\cdot g(x)\mathrm {d} x}$

  ${\displaystyle \int f(x)\cdot g(x)\mathrm {d} x=f(x)\cdot G(x)-\int f'(x)\cdot G(x)\mathrm {d} x}$

• bestimmt

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\cdot g'(x)\mathrm {d} x=[f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)\mathrm {d} x}$

Integration durch Substitution

• unbestimmt

  ${\displaystyle \int f(x)\mathrm {d} x=\int f(\varphi (t))\varphi '(t)\mathrm {d} t}$

• bestimmt

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)\mathrm {d} t=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(x)\mathrm {d} x}$

• Spezialfall: lineare Substitution

  ${\displaystyle \int f(mx+n)\mathrm {d} x={\frac {1}{m}}F(mx+n)+C,\qquad m\neq 0}$

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(mx+n)\mathrm {d} x={\frac {1}{m}}\lbrack F(mx+n)\rbrack _{a}^{b},\qquad m\neq 0}$

• Spezialfall: logarithmische Integration

  ${\displaystyle \int {\frac {f'(x)}{f(x)}}\mathrm {d} x=\ln |f(x)|+C,\qquad f(x)\neq 0}$

Angewandtes

Volumenbestimmung

• Volumen des Körpers bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [a,b]

  ${\displaystyle \pi \cdot \int _{a}^{b}f^{2}(x)\mathrm {d} x}$

• Volumen des Körpers bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen der umkehrbaren Funktion f und der y-Achse im Intervall [a,b]

  ${\displaystyle \pi \cdot \int _{f(a)}^{f(b)}(f^{-1}(y))^{2}\mathrm {d} y}$

• Volumen des Körpers, der bei y-Rotation der Fläche, welche durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], der x-Achse und den beiden Geraden ${\displaystyle x=a}$ und ${\displaystyle x=b}$ begrenzt wird, entsteht

  ${\displaystyle 2\pi \cdot \int _{a}^{b}(x\cdot f(x))\mathrm {d} x}$

Guldinsche Regeln

${\displaystyle M}$ Oberflächeninhalt

${\displaystyle V}$ Volumen

${\displaystyle L}$ Länge der erzeugenden Linie (Profillinie)

${\displaystyle A}$ Flächeninhalt der erzeugenden Fläche

${\displaystyle R}$ Radius des Schwerpunktkreises

Erste Regel

${\displaystyle M=L\cdot 2\pi R}$

Ausgedrückt in Abhängigkeit von der Funktion f(x) der erzeugenden Linie ergibt sich dies als:

• bei Rotation um die x-Achse

  ${\displaystyle M=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}\mathrm {d} x.}$

• bei Rotation um die y-Achse

  ${\displaystyle M=2\pi \int _{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))}f^{-1}(y){\sqrt {1+\left[\left(f^{-1}(y)\right)'\right]^{2}}}\mathrm {d} y.}$

Zweite Regel

${\displaystyle V=A\cdot 2\pi R.}$

Im Fall der Rotation um die x-Achse einer Fläche zwischen ${\displaystyle f(x)}$, der x-Achse und den Grenzen ${\displaystyle x=a}$ und ${\displaystyle x=b}$ ergibt sich das Volumen ausgedrückt durch ${\displaystyle f(x)}$ mit ${\displaystyle R}$ als Flächenschwerpunkt zu

${\displaystyle V=A\cdot 2\pi {\tfrac {1}{A}}\int _{A}y\mathrm {d} A=\pi \cdot \int _{a}^{b}(f(x))^{2}\mathrm {d} x}$

mit ${\displaystyle y={\tfrac {f(x)}{2}}}$ und ${\displaystyle \mathrm {d} A=f(x)\mathrm {d} x.}$

Weiteres

• Ist f auf [a,b] stetig, so heißt ${\displaystyle {\bar {m}}}$ der Mittelwert der Funktionswerte von f auf ${\displaystyle [a,b]}$

  ${\displaystyle {\bar {m}}={\frac {1}{b-a}}\cdot \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}$

• Länge des Bogens der differenzierbaren Funktion f im Intervall [a,b]:

  ${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\mathrm {d} x}$

Näherungsweises Berechnen von Integralen: Numerische Integration

• Zerlegungssummen

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx hf(x_{1})+hf(x_{2})+\cdots +hf(x_{n})\qquad {\text{mit }}h={\frac {b-a}{n}}}$

• Keplersche Fassregel

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {1}{6}}\cdot \left(f(a)+4\cdot f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)}$

• Trapezregel
  • Sehnentrapez

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {f(b)+f(a)}{2}}\cdot (b-a)}$

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{2n}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+\cdots +2f(x_{n-1}+f(x_{n})\right)}$

  • Tangententrapez

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{2}}\cdot {\frac {b-a}{2}}}$

• Simpsonregel

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{6}}\cdot \left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)}$

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{6n}}\cdot \left(f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots f(x_{n})\right)}$

Quellen

• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2004, ISBN 3-540-41282-4.