Fenchel-Nielsen-Koordinaten

In der Mathematik dienen Fenchel-Nielsen-Koordinaten zur Parametrisierung des Raums hyperbolischer Metriken auf einer Fläche.

Markierte hyperbolische Flächen

Eine Fläche heißt hyperbolisch, wenn sie eine Riemannsche Metrik von konstanter Schnittkrümmung mit totalgeodätischem Rand hat. Eine Fläche vom Geschlecht mit Randkomponenten ist genau dann hyperbolisch, wenn die Euler-Charakteristik negativ ist.

Wir fixieren jetzt eine hyperbolische Fläche . Eine Markierung einer hyperbolischen Fläche (vom selben Geschlecht mit derselben Anzahl von Randkomponenten) ist ein Homöomorphismus . Zwei Markierungen heißen äquivalent, wenn die Homöomorphismen homotop sind. Eine markierte hyperbolische Fläche (von gegebenem und ) ist dann ein Paar aus einer hyperbolischen Metrik und einer Äquivalenzklasse von Markierungen. Zwei isometrische hyperbolische Metriken entsprechen also unterschiedlichen markierten hyperbolischen Flächen, wenn die Isometrie nicht homotop zur Identität ist.

Der Fricke-Raum, häufig auch als Teichmüller-Raum bezeichnet (womit eigentlich der Modulraum Riemannscher Flächen gemeint ist), ist der Modulraum markierter hyperbolischer Flächen zu gegebenem und . Die Fenchel-Nielsen-Koordinaten sollen eine Parametrisierung dieses Raumes geben.

Fenchel-Nielsen-Koordinaten für Hosen

Eine Hose wird von 3 geschlossenen Kurven berandet.

Sei eine Hose, also eine Fläche vom Geschlecht 0 mit drei Randkomponenten . Man erhält eine Hose aus zwei Sechsecken durch Identifizieren von drei (paarweise nicht-benachbarten) Kantenpaaren.

Aus zwei solchen Sechsecken setzt sich eine Hose zusammen.

Sei ein Tripel positiver reeller Zahlen. Da es ein bis auf Kongruenz eindeutiges rechtwinkliges hyperbolisches Sechseck mit als Längen der rechts blau eingezeichneten Kanten gibt, erhält man eine eindeutige hyperbolische Metrik auf der Hose, so dass die drei Randkomponenten geschlossene Geodäten der Längen sind.

Man kann also den Raum der hyperbolischen Metriken auf der Hose parametrisieren durch

,

wobei die hyperbolische Metrik und die Länge der Kurve in der Metrik bezeichnet.

Hosenzerlegung

Die Fläche vom Geschlecht 2 mit 4 Randkomponenten kann in 6 Hosen zerlegt werden.

Man kann mehrere Hosen entlang einiger ihrer Randkomponenten verkleben, wodurch man kompliziertere Flächen erhält. Die entsprechende Zerlegung der resultierenden Fläche wird als Hosenzerlegung bezeichnet.

Eine Fläche vom Geschlecht mit Randkomponenten besitzt genau dann eine Hosenzerlegung, wenn

,

also wenn entweder oder oder ist. Eine Fläche kann im Allgemeinen mehrere unterschiedliche Hosenzerlegungen haben. Die Anzahl der Hosen in jeder Hosenzerlegung ist . Die Anzahl der zerlegenden Kurven ist .[1]

Twist-Parameter

Für zwei Randkomponenten einer hyperbolischen Hose gibt es eine eindeutige, sie verbindende kürzeste Geodäte . Sei eine andere die beiden Randkomponenten verbindende Kurve, und seien Umgebungen der Randkomponenten. Man kann durch eine Isotopie außerhalb mit übereinstimmen lassen. Die Twistzahlen von bezüglich der beiden Randkomponenten sind dann definiert als die horizontale Verschiebung des Endpunkts innerhalb der Umgebungen bzw. .

Für eine markierte hyperbolische Fläche definiert man dann den Twist-Parameter bzgl. der geschlossenen Kurve unter Zuhilfenahme einer schneidenden geschlossenen Geodäte als , wobei und die Twistzahlen bzgl. der als Durchschnitt von mit den beiden von berandeten Hosen entstehenden Bögen sind.[2]

Man beachte, dass die Twist-Parameter und zwar isometrischen Flächen, aber unterschiedlichen markierten hyperbolischen Flächen entsprechen: der Dehn-Twist an ist nicht homotop zur Identität.

Fenchel-Nielsen-Koordinaten

Als Fenchel-Nielsen-Koordinaten einer markierten hyperbolischen Fläche (zu einer gewählten Hosenzerlegung aus geschlossenen Kurven ) bezeichnet man das Tupel

wobei die Länge der geschlossenen Geodäte und ihren Twist-Parameter bezeichnet.

Die Fenchel-Nielsen-Koordinaten geben einen Homöomorphismus

Literatur

  • W. Fenchel, J. Nielsen: Discontinuous groups of isometries in the hyperbolic plane. Edited by Asmus L. Schmidt. de Gruyter Studies in Mathematics 29, Berlin: Walter de Gruyter, 2003
  • B. Farb, D. Margalit: A primer on mapping class groups. (= Princeton Mathematical Series. 49). Princeton University Press, Princeton, NJ 2012, ISBN 978-0-691-14794-9. (online archiviert via archive.org; pdf)
  • R. Benedetti, C. Petronio: Lectures on hyperbolic geometry. Universitext. Springer-Verlag, Berlin 1992, ISBN 3-540-55534-X.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Proposition B.2.5. in Benedetti-Petronio (op.cit.)
  2. Kapitel 10.6 in Farb-Margalit (op.cit.)

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