Eulersche Zahlen

Die Eulerschen Zahlen oder manchmal auch Euler-Zahlen (nach Leonhard Euler) sind eine Folge ${\displaystyle E_{n}}$ ganzer Zahlen, die durch die Taylorentwicklung der Hyperbelfunktion Secans hyperbolicus

${\displaystyle \operatorname {sech} (x)={\frac {1}{\cosh(x)}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

definiert sind. Sie sind nicht zu verwechseln mit den zweiparametrigen Euler-Zahlen ${\displaystyle E(n,k)}$.

Zahlenwerte

Die ersten Eulerschen Zahlen ${\displaystyle E_{n}\neq 0}$ lauten

Alle Eulerschen Zahlen mit ungeradem Index sind Null, während diejenigen mit geradem Index alternierendes Vorzeichen haben. Ferner besitzen die positiven Werte, mit Ausnahme von E₀ bei Division durch 10 den Rest 5 und die negativen Werte modulo 10 den Rest −1 bzw. Wert 9.

Manche Autoren lassen die Zahlen mit ungeradem Index ganz weg, halbieren die Indizes sozusagen, da dort die Werte mit 0 nicht betrachtet werden, und definieren ihre Euler-Zahlen als verbleibende Folge. Manchmal werden die Eulerschen Zahlen auch so definiert, dass sie alle positiv sind, sprich unseren ${\displaystyle (-1)^{n}E_{2n}}$ entsprechen.

Eigenschaften

Asymptotisches Verhalten

Für das asymptotische Verhalten der Eulerschen Zahlen gilt

${\displaystyle E_{2n}\sim (-1)^{n}\,8\,{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}=(-1)^{n}{\frac {\sqrt {e}}{2}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n+{\frac {1}{2}}}}$

oder präziser

${\displaystyle {\frac {E_{2n}}{(2n)!}}\sim 2\,(-1)^{n}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}}$

mit der ~-Äquivalenz-Notation.

Rekursionsgleichung

Eine leicht zu merkende Form der Rekursionsgleichung mit dem Startwert ${\displaystyle E_{0}=1}$ lautet

${\displaystyle \forall \,n\in \mathbb {N} \colon \quad (E+1)^{n}+(E-1)^{n}=0}$

wobei ${\displaystyle E^{n}}$ als ${\displaystyle E_{n}}$ zu interpretieren ist und woraus

${\displaystyle \forall \,n\in \mathbb {N} \colon \quad \sum _{k=0}^{n}\left(1+(-1)^{n-k}\right){n \choose k}E_{k}=0}$

bzw. durch Indextransformation die explizite Gestalt

${\displaystyle \forall \,n\in \mathbb {N} \colon \quad E_{n}=-\sum _{k=1}^{\lfloor n/2\rfloor }{n \choose 2k}E_{n-2k}}$

folgt.

Geschlossene Darstellungen

Die Eulerschen Zahlen lassen sich sogar exakt^[1]

${\displaystyle \forall \,n\in \mathbb {N} _{0}\colon \quad E_{2n}={\frac {(2n)!\,2^{2n+2}}{(-1)^{n}\pi ^{2n+1}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)^{2n+1}}}={\frac {(2n)!\,2}{(-1)^{n}(2\pi )^{2n+1}}}\left(\zeta (2n+1,{\tfrac {1}{4}})-\zeta (2n+1,{\tfrac {3}{4}})\right)}$

mittels der Hurwitzschen Zetafunktion ${\displaystyle \zeta }$ falls ${\displaystyle n\not =0}$ ist, darstellen. Und unter Ausnutzung ihrer Funktionalgleichung (dort mit m=1, n=4) die elegante Beziehung

${\displaystyle E_{2n}=4^{2n+1}\zeta (-2n,{\tfrac {1}{4}})}$

aufstellen, die diese Zahlen als skalierte Funktionswerte dieser auf ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$ holomorphen Funktion identifiziert. Somit erhalten wir auch

${\displaystyle E_{2n}=-4^{2n+1}{\frac {B_{2n+1}({\tfrac {1}{4}})}{2n+1}}}$

was einen direkten Zusammenhang mit den Bernoulli-Polynomen ${\displaystyle B_{n}(x)}$ und somit zu den Bernoulli-Zahlen herstellt. Außerdem gilt

${\displaystyle E_{2n}={\frac {(-1)^{n}4^{n+1}(2n)!}{\pi ^{2n+1}}}\cdot \beta (2n+1),}$

wobei ${\displaystyle \beta (s)}$ die Dirichletsche Betafunktion bezeichnet.

Eulersche Polynome

Nicht zu verwechseln mit den Euler-Polynomen

Die Eulerschen Polynome ${\displaystyle {\text{E}}_{n}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ werden meistens durch ihre erzeugende Funktion

${\displaystyle {\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\text{E}}_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}}$

implizit definiert. Die ersten lauten

${\displaystyle {\text{E}}_{0}(x)=1}$

${\displaystyle {\text{E}}_{1}(x)=x-{\tfrac {1}{2}}}$

${\displaystyle {\text{E}}_{2}(x)=x^{2}-x=x(x-1)}$

${\displaystyle {\text{E}}_{3}(x)=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{4}}={\tfrac {1}{4}}(2x-1)(2x^{2}-2x-1)}$

${\displaystyle {\text{E}}_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x=x(x-1)(x^{2}-x-1)}$

${\displaystyle {\text{E}}_{5}(x)=x^{5}-{\tfrac {5}{2}}x^{4}+{\tfrac {5}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}(2x-1)(x^{2}-x-1)^{2}}$

${\displaystyle {\text{E}}_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x=x(x-1)(x^{4}-2x^{3}-2x^{2}+3x+3)}$

Man kann sie aber auch zu ${\displaystyle {\text{E}}_{0}(x)=1}$ und dann für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ über die Gleichung

${\displaystyle {\text{E}}_{n}(x)=\int _{c}^{x}n{\text{E}}_{n-1}(t)\,{\text{d}}t}$

induktiv definieren, wobei die untere Integrationsgrenze ${\displaystyle c}$ für ungerades ${\displaystyle n}$ 1/2 ist und für gerades ${\displaystyle n}$ Null ist.

Die Eulerschen Polynome sind symmetrisch um ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$, d. h.

${\displaystyle {\text{E}}_{n}({\tfrac {1}{2}}+x)=(-1)^{n}{\text{E}}_{n}({\tfrac {1}{2}}-x)\qquad {\text{bzw.}}\qquad {\text{E}}_{n}(x+1)=(-1)^{n}{\text{E}}_{n}(-x)}$

und ihre Funktionswerte an den Stellen ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ und ${\displaystyle 0}$ der Beziehung

${\displaystyle {\text{E}}_{n}({\tfrac {1}{2}})=2^{-n}E_{n}}$

und

${\displaystyle {\text{E}}_{n-1}(0)=(2^{n+1}-2){\frac {B_{n}}{n}}}$

genügen, wobei ${\displaystyle B_{n}}$ die Bernoulli-Zahl zweiter Art bezeichnet. Ferner haben wir die Identität

${\displaystyle {\text{E}}_{n}(x+1)+{\text{E}}_{n}(x)=2x^{n}}$

Das Eulersche Polynom ${\displaystyle {\text{E}}_{n}}$ hat für ${\displaystyle n>5}$ weniger als ${\displaystyle n}$ reelle Nullstellen. So hat zwar ${\displaystyle {\text{E}}_{5}}$ fünf (allerdings zwei doppelte, sprich nur drei verschiedene), aber schon ${\displaystyle {\text{E}}_{6}}$ nur die zwei (trivialen) Nullstellen bei 0 und bei 1. Sei ${\displaystyle R(n)=\{x\in \mathbb {R} \colon {\text{E}}_{n}(x)=0\}}$ die Nullstellenmenge. Dann ist

${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}|R(n)|+1\leq \min R(n)\leq \max R(n)\leq {\tfrac {1}{2}}|R(n)|}$

– wobei im Fall n=5 die Anzahl ${\displaystyle |R(5)|}$ als 5 zu bewerten ist, da die Nullstellen mit ihrer Vielfachheit gezählt werden müssen – und es gilt

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {|R(n)|}{n}}={\frac {2}{\pi e}}\approx 0{,}2342}$

wobei die Funktion ${\displaystyle |\cdot |}$ angewandt auf eine Menge eigentlich deren Elementanzahl angibt.

Vorkommen

Taylorreihen

Die Folge der Eulerschen Zahlen ${\displaystyle E_{n}}$ tritt zum Beispiel in der Taylorentwicklung von

${\displaystyle \sec(x)={\frac {1}{\cos(x)}}={\frac {1}{\cosh(\mathrm {i} \,x)}}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}E_{2n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$

auf. Sie ist verwandt mit der Folge der Bernoulli-Zahlen ${\displaystyle B_{n}}$ was man auch an der Darstellung

${\displaystyle \operatorname {csch} (x)={\frac {1}{\sinh(x)}}=\sum _{n=0}^{\infty }(2-2^{n})B_{n}{\frac {x^{n-1}}{n!}}}$

erkennt. Aus dem Konvergenzradius der Taylorentwicklung der Sekans-funktion – der Cosinus im Nenner dort wird 0 bei ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$ – von ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$ folgt aus dem Wurzelkriterium das ${\displaystyle \limsup \log \left|{\tfrac {E_{n}}{n!}}\right|\sim n\log \left({\tfrac {2}{\pi }}\right)}$ asymptotisch gelten muss. Sie treten natürlich auch in den Taylorreihen der höheren Ableitungen vom Secans hyperbolicus bzw. der Gudermannfunktion auf.

Integrale

Auch bei manchen uneigentlichen Integralen treten sie auf; beispielsweise bei dem Integral

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\ln ^{n}(x)}{1+x^{2}}}\,dx=|E_{n}|\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{n+1}}$.

Permutationen

Die Eulerschen Zahlen kommen beim Zählen der Anzahl alternierender Permutationen mit gerader Elementanzahl vor. Eine alternierende Permutation von Werten ist eine Auflistung dieser Werte ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{2n}}$, so dass diese Permutation kein Tripel ${\displaystyle a_{j-1},a_{j},a_{j+1}}$ mit ${\displaystyle 1<j<2n}$ enthält, das geordnet ist. Allgemein gilt für die Anzahl ${\displaystyle A_{2n}}$ der alternierenden Permutationen von ${\displaystyle 2n}$ Elementen (die vergleichbar sind)

${\displaystyle A_{2n}=2|E_{2n}|}$,

wobei der Faktor zwei dadurch entsteht, dass man jede Permutation durch Umdrehen der Reihenfolge in eine andere alternierende Permutation überführen kann. Für eine beliebige (also auch ungerade) Anzahl ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ gilt

${\displaystyle A_{n}=2\,n!\,\alpha _{n}}$

mit ${\displaystyle \alpha _{0}=\alpha _{1}=1}$ und

${\displaystyle \alpha _{n}={\frac {1}{2n}}\sum _{j=0}^{n-1}\alpha _{j}\alpha _{n-1-j}}$

für ${\displaystyle n\geq 2}$, womit man einen weiteren effizienten Algorithmus auch zur Bestimmung der ${\displaystyle E_{2n}}$ erhält. Für ungerades ${\displaystyle n}$ werden die Werte ${\displaystyle {\tfrac {A_{n}}{2}}}$ auch Tangentenzahlen genannt.

Literatur

• J. M. Borwein, P. B. Borwein, K. Dilcher, Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions, AMM, V. 96, No. 8, (Oct. 1989), pp. 681–687

Weblinks

• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Eric W. Weisstein: Eulersche Zahlen. In: MathWorld (englisch).
• Folge A122045 in OEIS

Einzelnachweise

1. ↑ M. Abramowitz and I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions. Dover, N.Y. 1964, p. 807