Eulersche Zahl

Die Eulersche Zahl, mit dem Symbol ${\displaystyle e}$ bezeichnet, ist eine Konstante, die in der gesamten Analysis und allen damit verbundenen Teilgebieten der Mathematik, besonders in der Differential- und Integralrechnung, aber auch in der Stochastik (Kombinatorik, Normalverteilung) eine zentrale Rolle spielt. Ihr numerischer Wert beträgt

${\displaystyle e=2{,}71828\,18284\,59045\,23536\,02874\,71352\,66249\,77572\,47093\,69995\,\dots }$^[1]

${\displaystyle e}$ ist eine transzendente und somit auch irrationale reelle Zahl. Sie ist die Basis des natürlichen Logarithmus und der (natürlichen) Exponentialfunktion. In der angewandten Mathematik spielt die Exponentialfunktion und somit ${\displaystyle e}$ eine bedeutende Rolle bei der Beschreibung von Vorgängen wie dem radioaktiven Zerfall und dem natürlichen Wachstum.

Es gibt zahlreiche äquivalente Definitionen von ${\displaystyle e}$, die bekannteste lautet:

${\displaystyle e=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}+\dotsb =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}}$

Die Zahl wurde nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler benannt,^[2] der zahlreiche Eigenschaften von ${\displaystyle e}$ beschrieb. Gelegentlich wird sie auch nach dem schottischen Mathematiker John Napier als Napiers Konstante (oder Nepersche Konstante) bezeichnet. Sie gehört zu den wichtigsten Konstanten der Mathematik.

Es gibt einen internationalen Tag der eulerschen Zahl ${\displaystyle e}$. In Ländern, in denen wie in Deutschland beim Datum der Tag vor dem Monat (27.1.) geschrieben wird, ist er am 27. Januar,^[3] in Ländern, in denen wie in den USA der Monat vor dem Tag geschrieben wird (2/7), am 7. Februar.

Definition

Die Zahl ${\displaystyle e}$ wurde von Leonhard Euler durch die folgende Reihe definiert:^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}e&=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}+\dotsb \\&={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\dotsb \\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\\\end{aligned}}}$

Für ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ ist dabei ${\displaystyle k!}$ die Fakultät von ${\displaystyle k}$, also im Falle ${\displaystyle k>0}$ das Produkt ${\displaystyle k!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k}$ der natürlichen Zahlen von ${\displaystyle 1}$ bis ${\displaystyle k}$, während ${\displaystyle 0!:=1}$ definiert ist.

Wie schon Euler bewies, erhält man die Eulersche Zahl ${\displaystyle e}$ auch als funktionalen Grenzwert.^[5]

Die Zahl ${\displaystyle e}$ kann auch als Grenzwert der Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle a_{n}:=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$ geschrieben werden:

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

Dem liegt zugrunde, dass

${\displaystyle e=\exp(1)=e^{1}}$

gilt, ${\displaystyle e}$ also der Funktionswert der Exponentialfunktion (oder auch „${\displaystyle e}$-Funktion“) an der Stelle ${\displaystyle 1}$ ist. Die obige Reihendarstellung von ${\displaystyle e}$ ergibt sich in diesem Zusammenhang dadurch, dass man die Taylorreihe der Exponentialfunktion um die Entwicklungsstelle ${\displaystyle 0}$ an der Stelle ${\displaystyle 1}$ auswertet.

Ein alternativer Zugang zur Definition der Eulerschen Zahl ist derjenige über Intervallschachtelungen, etwa in der Weise, wie es in Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen von Konrad Knopp dargestellt wird. Danach gilt für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$:^[6]

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<e<\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}}$

Die Entstehung der Zahl ${\displaystyle e}$ lässt sich auch grafisch veranschaulichen. Aus der Abbildung ergibt sich folgender Zusammenhang^[7]:

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\cdot {\frac {n}{n+1}}\leq \int _{1}^{1+{\frac {1}{n}}}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x\leq {\frac {1}{n}}\cdot 1}$

${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {1}{n}}\cdot {\frac {n}{n+1}}\leq \ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\leq {\frac {1}{n}}\cdot 1}$ (Lösung des Integrals)

${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {n}{n+1}}\leq n\cdot \ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\leq 1}$ (Multiplikation mit n)

${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {n}{n+1}}\leq \ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\leq 1}$ (Anwendung eines Logarithmengesetzes)

${\displaystyle \Leftrightarrow \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{n+1}}\leq \lim _{n\to \infty }\left(\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right)\leq 1}$ (Grenzwertbildung)

${\displaystyle \Leftrightarrow \ln \left(\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right)=1}$ (Stetigkeit der Logarithmus-Funktion)

${\displaystyle \Leftrightarrow e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$ (Umkehrfunktion der Exponentialfunktion)

Die Vorgeschichte vor Euler

Die Geschichte der Eulerschen Zahl ${\displaystyle e}$ beginnt bereits im 16. Jahrhundert mit drei Problembereichen, in denen eine Zahl auftaucht, der sich damals die Mathematiker näherten und die später ${\displaystyle e}$ genannt wurde:

• Als Basis von Logarithmen in den Logarithmentafeln von John Napier und Jost Bürgi. Beide hatten ihre Tafeln unabhängig voneinander entwickelt, wobei sie eine Idee von Michael Stifel aufnahmen und Ergebnisse von Stifel und anderen Mathematikern des 16. Jahrhunderts benutzten. Bürgi veröffentlichte 1620 seine „Arithmetische und geometrische Progreß-Tabulen“. Als Basis seines Logarithmensystems verwendet Bürgi offenbar instinktiv eine Zahl, die nahe bei ${\displaystyle e}$ liegt. Napier veröffentlichte 1614 seine „Mirifici logarithmorum canonis descriptio“ und benutzt dabei eine zu ${\displaystyle 1/e}$ proportionale Basis.^[8] Napier und Bürgi wollten mit Hilfe der Logarithmentafeln Multiplikationen auf Additionen zurückführen, um so umfangreiche Rechnungen einfacher und weniger zeitaufwändig zu gestalten.
• Als Grenzwert einer Folge in der Zinseszinsrechnung. 1669 stellte Jacob Bernoulli die Aufgabe: „Eine Summe Geldes sei auf Zinsen angelegt, dass in den einzelnen Augenblicken ein proportionaler Teil der Jahreszinsen zum Kapital geschlagen wird.“ Diesen proportionalen Zinszuschlag nennen wir heute „stetige Verzinsung“.^[9] Bernoulli fragt, ob durch Verträge, bei denen die einzelnen Augenblicke immer kürzer werden, beliebig große Vielfache der Ausgangssumme erzielt werden können, und erreicht als Lösung eine Zahl, die wir heute als Eulersche Zahl ${\displaystyle e}$ kennen.^[10]
• Als unendliche Reihe (Fläche der Hyperbel des Apollonios von Perge). Es ging (in heutiger Sprache) um die Frage, wie weit sich eine Fläche unter der Hyperbel ${\displaystyle xy=1}$ von ${\displaystyle x=1}$ nach rechts erstreckt, die genauso groß wie die Fläche des Einheitsquadrats ist. Der flämische Mathematiker Grégoire de Saint-Vincent (latinisiert Gregorius a Sancto Vincentino) entwickelte zur Lösung eine Funktion, die wir heute natürlichen Logarithmus nennen und mit ${\displaystyle \ln }$ bezeichnen. Er entdeckte interessante Eigenschaften, darunter eine Gleichung, die wir heute Funktionalgleichung des Logarithmus nennen, die auch Napier und Bürgi zur Konstruktion und bei der Benutzung ihrer Logarithmentafeln benutzten.^[11] Es ist nicht gesichert, ob ihm bewusst war, dass die Basis dieses Logarithmus die Zahl ist, die später ${\displaystyle e}$ genannt wurde. Aufgefallen ist dies erst nach Erscheinen seines Werkes.^[12] Spätestens sein Schüler und Co-Autor Alphonse Antonio de Sarasa stellte den Zusammenhang durch eine Logarithmusfunktion dar. In einem Aufsatz, der die Verbreitung der Ideen von Saint-Vincent durch de Sarasa behandelt, heißt es, dass „die Beziehung zwischen Logarithmen und der Hyperbel in allen Eigenschaften durch Saint-Vincent gefunden wurde, nur nicht im Namen.“^[13] Durch Arbeiten von Newton und Euler wurde dann klar, dass ${\displaystyle e}$ die Basis ist.^[14] Leibniz war offensichtlich der Erste, der einen Buchstaben für diese Zahl benutzte. In seiner Korrespondenz mit Christiaan Huygens von 1690/1 benutzte er den Buchstaben b als Basis einer Potenz.^[15]

Herkunft des Symbols e

Als frühestes Dokument, das die Verwendung des Buchstabens ${\displaystyle e}$ für diese Zahl durch Leonhard Euler aufweist, gilt ein Brief Eulers an Christian Goldbach vom 25. November 1731.^[16] Noch früher, 1727 oder 1728, begann Euler, den Buchstaben ${\displaystyle e}$ zu benutzen, und zwar im Artikel „Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta“ über Explosivkräfte in Kanonen, der allerdings erst 1862 veröffentlicht wurde.^[17][18] Als nächste gesicherte Quelle für die Verwendung dieses Buchstabens gilt Eulers Werk Mechanica sive motus scientia analytice exposita, II aus dem Jahre 1736.^[6] In der im Jahre 1748 erschienenen Introductio in analysin infinitorum greift Euler diese Bezeichnung wieder auf.^[19]

Es gibt keine Hinweise darauf, dass diese Wahl des Buchstabens ${\displaystyle e}$ in Anlehnung an seinen Namen geschah. Unklar ist auch, ob er dies in Anlehnung an die Exponentialfunktion oder aus praktischen Erwägungen der Abgrenzung zu den viel benutzten Buchstaben a, b, c oder d machte. Obwohl auch andere Bezeichnungen in Gebrauch waren, etwa c in d’Alemberts Histoire de l’Académie, hat sich ${\displaystyle e}$ durchgesetzt.

Im Formelsatz wird ${\displaystyle e}$ nach DIN 1338 und ISO 80000-2 nicht kursiv gesetzt, um die Zahl von einer Variablen zu unterscheiden.^[20] Allerdings ist auch die kursive Schreibweise verbreitet.

Eigenschaften

Die Eulersche Zahl ${\displaystyle e}$ ist eine transzendente (Beweis nach Charles Hermite, 1873) und damit irrationale Zahl (Beweis mit Kettenbrüchen für ${\displaystyle e^{2}}$ und somit ${\displaystyle e}$ bereits 1737 von Euler,^[21] Beweis im Beweisarchiv bzw. Artikel). Sie lässt sich also (wie auch die Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ nach Ferdinand von Lindemann 1882) nicht als Bruch zweier natürlicher Zahlen (sogar nicht einmal als Lösung einer algebraischen Gleichung) darstellen und besitzt folglich eine unendliche nichtperiodische Dezimalbruchentwicklung. Das Irrationalitätsmaß von ${\displaystyle e}$ ist 2 und somit so klein wie möglich für eine irrationale Zahl, insbesondere ist ${\displaystyle e}$ nicht liouvillesch. Es ist nicht bekannt, ob ${\displaystyle e}$ zu irgendeiner Basis normal ist.^[22]

In der Eulerschen Identität

${\displaystyle e^{\mathrm {i} \cdot \pi }=-1}$

werden fundamentale mathematische Konstanten in Zusammenhang gesetzt: Die ganze Zahl 1, die Eulersche Zahl ${\displaystyle e}$, die imaginäre Einheit ${\displaystyle \mathrm {i} }$ der komplexen Zahlen und die Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$.

Die Eulersche Zahl tritt auch in der asymptotischen Abschätzung der Fakultät auf (siehe Stirlingformel):^[23]

${\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\leq n!\leq {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\cdot e^{\frac {1}{12n}}}$

Die Cauchy-Produktformel für die beiden (jeweils absolut konvergenten) Reihen und der binomische Lehrsatz ergeben

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{k}{\frac {1}{j!}}{\frac {(-1)^{k-j}}{(k-j)!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}1^{j}(-1)^{k-j}=\sum _{k=0}^{\infty }(1+(-1))^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }0^{k}=1=e\cdot e^{-1}}$

und daraus folgt sofort:

${\displaystyle e^{-1}={\frac {1}{e}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}}$

Geometrische Interpretation

Eine geometrische Interpretation der Eulerschen Zahl liefert die Integralrechnung. Danach ist ${\displaystyle e}$ diejenige eindeutig bestimmte Zahl ${\displaystyle b>1}$, für die der Inhalt der Fläche unterhalb des Funktionsgraphen der reellen Kehrwertfunktion ${\displaystyle y={\tfrac {1}{x}}}$ im Intervall ${\displaystyle [1,b]}$ exakt gleich ${\displaystyle 1}$ ist:^[24]

${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x=1}$

Weitere Darstellungen für die Eulersche Zahl

Die Eulersche Zahl lässt sich auch durch

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}$

oder durch den Grenzwert des Quotienten aus Fakultät und Subfakultät beschreiben:

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{!n}}.}$

Eine Verbindung zur Verteilung der Primzahlen wird über die Formeln

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }({\sqrt[{n}]{n}})^{\pi (n)}}$

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n\#}}}$

deutlich, wobei ${\displaystyle \pi (n)}$ die Primzahlfunktion und das Symbol ${\displaystyle n\#}$ das Primorial der Zahl ${\displaystyle n}$ bedeutet.

Auch eher von exotischem Reiz als von praktischer Bedeutung ist die catalansche Darstellung

${\displaystyle e={\sqrt[{1}]{\frac {2}{1}}}\cdot {\sqrt[{2}]{\frac {4}{3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}}\cdot {\sqrt[{8}]{\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}}\cdots }$

Kettenbruchentwicklungen

Im Zusammenhang mit der Zahl ${\displaystyle e}$ gibt es spätestens seit dem Erscheinen von Leonhard Eulers Introductio in Analysin Infinitorum im Jahre 1748 eine große Anzahl Kettenbruchentwicklungen für ${\displaystyle e}$ und aus ${\displaystyle e}$ ableitbare Größen.

So hat Euler die folgende klassische Identität für ${\displaystyle e}$ gefunden:

${\displaystyle (1){\begin{aligned}e&=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,\dotsc ]\\&=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6+\dotsb }}}}}}}}}}}}}}}}\end{aligned}}}$(Folge A003417 in OEIS)

Die Identität (1) weist offenbar ein regelmäßiges Muster auf, das sich bis ins Unendliche fortsetzt. Sie gibt einen regulären Kettenbruch wieder, der von Euler aus dem folgenden abgeleitet wurde:^[25]

${\displaystyle (2){\begin{aligned}{\frac {e+1}{e-1}}&=[2;6,10,14,\dotsc ]\\&={2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{\;\,\ddots }}}}}}}}}\\&\approx 2{,}1639534137386\end{aligned}}}$(Folge A016825 in OEIS)

Dieser Kettenbruch ist seinerseits ein Spezialfall des folgenden mit ${\displaystyle k=2}$:

${\displaystyle (3){\begin{aligned}{\coth {\frac {1}{k}}}&={\frac {e^{\frac {2}{k}}+1}{e^{\frac {2}{k}}-1}}\\&=[k;3k,5k,7k,\dots ]\\&={k+{\cfrac {1}{3k+{\cfrac {1}{5k+{\cfrac {1}{7k+{\cfrac {1}{\;\,\ddots }}}}}}}}}\\\end{aligned}}}$     ${\displaystyle (k=1,2,3,\dots )}$

Eine andere klassische Kettenbruchentwicklung, die jedoch nicht regelmäßig ist, stammt ebenfalls von Euler:^[26]

${\displaystyle (4){\begin{aligned}{\frac {1}{e-1}}&={0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{\;\,\ddots }}}}}}}}}\approx 0{,}58197670686932\end{aligned}}}$(Folge A073333 in OEIS)

Auf Euler und Ernesto Cesàro geht eine weitere Kettenbruchentwicklung der Eulerschen Zahl zurück, die von anderem Muster als in (1) ist:^[27]

${\displaystyle (5){\begin{aligned}e&=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {4}{5+{\cfrac {5}{6+{\cfrac {6}{7+{\cfrac {7}{8+\dotsb }}}}}}}}}}}}}}}}\end{aligned}}}$

Im Zusammenhang mit der Eulerschen Zahl existiert darüber hinaus eine große Anzahl von allgemeinen kettenbruchtheoretischen Funktionalgleichungen. So nennt Oskar Perron als eine von mehreren die folgende allgemeingültige Darstellung der ${\displaystyle e}$-Funktion:^[27]

${\displaystyle (6){\begin{aligned}{e^{z}}&=1+{\cfrac {z}{1-{\cfrac {1z}{2+z-{\cfrac {2z}{3+z-{\cfrac {3z}{4+z-{\cfrac {4z}{5+z-{\cfrac {5z}{6+z-{\cfrac {6z}{7+z-{\cfrac {7z}{8+z-\dotsb }}}}}}}}}}}}}}}}\end{aligned}}}$     ${\displaystyle (z\in \mathbb {C} )}$

Ein weiteres Beispiel hierfür ist die von Johann Heinrich Lambert stammende Entwicklung des Tangens hyperbolicus, die zu den lambertschen Kettenbrüchen gerechnet wird:^[28][29]

${\displaystyle (7){\begin{aligned}{\tanh z}&={\frac {e^{z}-e^{-z}}{e^{z}+e^{-z}}}\\&={\frac {e^{2z}-1}{e^{2z}+1}}\\&=0+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z^{2}}{3+{\cfrac {z^{2}}{5+{\cfrac {z^{2}}{7+{\cfrac {z^{2}}{9+{\cfrac {z^{2}}{11+{\cfrac {z^{2}}{13+{\cfrac {z^{2}}{15+\dotsb }}}}}}}}}}}}}}}}\end{aligned}}}$     ${\displaystyle \left(z\in \mathbb {C} \setminus \left\{{\frac {\mathrm {i} \pi }{2}}+k\pi \colon k=0,1,2,3,\dotsc \right\}\right)}$

Erst 2019 wurde mit Hilfe eines Computerprogrammes, das nach Srinivasa Ramanujan als Ramanujan-Maschine benannt wurde, letztlich basierend auf einer Trial-and-error-Methode, durch ein Team um Gal Raayoni am Technion eine weitere und bisher unbekannte Kettenbruchentwicklung für die Eulersche Zahl gefunden. Gegenüber allen bisher bekannten Kettenbruchentwicklungen, die alle von einer beliebigen ganzzahligen Zahl, die kleiner als die Eulersche Zahl ist, aufsteigen, handelt es sich hier erstmals um eine, die von der ganzen Zahl 3, einer ganzen Zahl, die größer ist als die Eulersche Zahl, absteigt.^[30] Allein die Auffindung eines (einzigen) solchen absteigenden Kettenbruchs von einer ganzen Zahl größer als die Eulersche Zahl ${\displaystyle (3>e)}$ legt die Vermutung nahe, dass es unendlich viele solcher absteigenden Kettenbrüche von ganzen Zahlen ${\displaystyle n}$ mit ${\displaystyle n>e}$ gibt, die ebenfalls auf die Eulersche Zahl führen.

${\displaystyle (8){\begin{aligned}e&=3+{\cfrac {-1}{4+{\cfrac {-2}{5+{\cfrac {-3}{6+{\cfrac {-4}{7+{\cfrac {-5}{8+\dotsb }}}}}}}}}}\end{aligned}}}$

Anschauliche Interpretationen der Eulerschen Zahl

Zinseszinsrechnung

Das folgende Beispiel macht die Berechnung der Eulerschen Zahl nicht nur anschaulicher, sondern es beschreibt auch die Geschichte der Entdeckung der Eulerschen Zahl: Ihre ersten Stellen wurden von Jakob I Bernoulli bei der Untersuchung der Zinseszinsrechnung gefunden.

Den Grenzwert der ersten Formel kann man folgendermaßen deuten: Jemand zahlt am 1. Januar einen Euro auf der Bank ein. Die Bank garantiert ihm eine momentane Verzinsung zu einem Zinssatz ${\displaystyle z=100\,\%}$ pro Jahr. Wie groß ist sein Guthaben am 1. Januar des nächsten Jahres, wenn er die Zinsen zu gleichen Bedingungen anlegt?

Nach der Zinseszinsformel wird aus dem Startkapital ${\displaystyle K_{0}}$ nach ${\displaystyle n}$ Verzinsungen mit Zinssatz ${\displaystyle z}$ das Kapital

${\displaystyle K_{n}=K_{0}(1+z)^{n}.}$

In diesem Beispiel sind ${\displaystyle K_{0}=1}$ und ${\displaystyle z=100\,\%=1}$, wenn der Zinszuschlag jährlich erfolgt, oder ${\displaystyle z=1/n}$, wenn der Zinszuschlag ${\displaystyle n}$-mal im Jahr erfolgt, also bei unterjähriger Verzinsung.

Bei jährlichem Zuschlag wäre

${\displaystyle K_{1}=1\cdot (1+1)^{1}=2{,}00.}$

Bei halbjährlichem Zuschlag hat man ${\displaystyle z={\frac {1}{2}}}$,

${\displaystyle K_{2}=1\cdot \left(1+{\frac {1}{2}}\right)^{2}=2{,}25}$

also schon etwas mehr. Bei täglicher Verzinsung ${\displaystyle (z=1/365)}$ erhält man

${\displaystyle K_{365}=1\cdot \left(1+{\frac {1}{365}}\right)^{365}=2{,}714567.}$

Wenn die Verzinsung kontinuierlich in jedem Augenblick erfolgt, wird ${\displaystyle n}$ unendlich groß, und man bekommt die oben angegebene erste Formel für ${\displaystyle e}$.

Wahrscheinlichkeitsrechnung

${\displaystyle e}$ ist auch häufig in der Wahrscheinlichkeitstheorie anzutreffen: Beispielsweise sei angenommen, dass ein Bäcker für jedes Brötchen eine Rosine in den Teig gibt und diesen gut durchknetet. Danach enthält statistisch gesehen jedes ${\displaystyle e}$-te Brötchen keine Rosine. Die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$, dass bei ${\displaystyle n}$ Brötchen keine der ${\displaystyle n}$ Rosinen in einem fest gewählten ist, ergibt im Grenzwert für ${\displaystyle n\to \infty }$ (37-%-Regel):

${\displaystyle p=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {n-1}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}={\frac {1}{e}}.}$

Es werden Briefe und die zugehörigen Briefumschläge mit den Adressen unabhängig voneinander geschrieben. Dann werden ohne hinzusehen, also rein zufällig, die Briefe in die Briefumschläge gesteckt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Brief im richtigen Umschlag steckt? Euler löste diese Aufgabe und veröffentlichte sie 1751 im Aufsatz „Calcul de la probabilité dans le jeu de rencontre.“ Bemerkenswert ist, dass sich ab einer Anzahl von 7 Briefen die Wahrscheinlichkeit fast nicht mehr ändert. Sie wird sehr gut durch ${\displaystyle 1/e=0{,}367879\dots \approx 36{,}7879\,\%}$ angenähert, den Grenzwert der Wahrscheinlichkeiten, wenn die Anzahl an Briefen immer größer wird.

Einem Jäger steht nur ein Schuss zur Verfügung. Er soll aus einer Schar Tauben, deren Anzahl ${\displaystyle n}$ er kennt, die in zufälliger Reihenfolge an ihm vorbeifliegen, die größte schießen. Mit welcher Strategie sind seine Chancen maximal, die größte Taube zu treffen? Dieses Taubenproblem wurde vom amerikanischen Mathematiker Herbert Robbins formuliert. Dasselbe Entscheidungsproblem besteht auch bei der Anstellung des besten Mitarbeiters bei n Bewerbern (Sekretärinnenproblem) und ähnlichen Einkleidungen. Lösung: Die optimale Strategie besteht darin, erst ${\displaystyle k}$ Tauben ${\displaystyle (k<n)}$ vorbeifliegen zu lassen, und dann auf die nächste Taube zu schießen, die größer als alle bisher vorbeigeflogenen ist, oder auf die allerletzte, wenn bis dahin keine größere vorbeigeflogen ist. Die Wahrscheinlichkeit, die größte Taube zu erwischen, beträgt bei dieser optimalen Strategie ungefähr ${\displaystyle 1/e}$ unabhängig von n, das jedoch nicht zu klein sein sollte. Wenn wir ${\displaystyle k/n}$ als Schätzwert für ${\displaystyle 1/e}$ wählen, dann folgt: ${\displaystyle k\approx 1/e*n}$. Also sollte man bei 27 Tauben erst 10 vorbeifliegen lassen. Bemerkenswert ist, dass man bei rund ${\displaystyle 2/3}$ aller Fälle nicht die gewünschte optimale Lösung erhält.^[31]

Bei der Poisson-, der Exponential- und der Normalverteilung wird ${\displaystyle e}$ neben anderen Größen zur Beschreibung der Verteilung benutzt.

Bedeutung in der Mathematik

Die Eulersche Zahl taucht an verschiedenen wichtigen Stellen in der Mathematik auf:

• Sie dient zur Definition ${\displaystyle f(x\mid \mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\operatorname {exp} \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$ der Normalverteilung, einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.
• Sie dient zur Definition ${\displaystyle P_{\lambda }(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }}$ der Poisson-Verteilung, einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.
• Sie ist in der Stirling-Formel ${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}}$ für die Fakultät enthalten.
• Sie ist in der Definition ${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}{\mathrm {e} }^{-t}\mathrm {d} t}$ der Gammafunktion enthalten.
• Sie ist in der Formel ${\displaystyle {!}n=\left\lfloor {\frac {n!+1}{e}}\right\rfloor }$ für die Subfakultät enthalten.

Die Exponentialfunktion zur Basis der Eulerschen Zahl lautet:

${\displaystyle f(x)=e^{x}}$

Die Ableitungsfunktion lautet:

${\displaystyle f'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}}$

Daraus folgt, dass diese Exponentialfunktion mit ihrer Ableitungsfunktion identisch ist:

${\displaystyle \rightarrow f(x)=f'(x)}$

Dies bedeutet anschaulich, dass die Steigung dieser Exponentialfunktion an jeder Stelle genauso groß ist wie der Funktionswert.

Auch in der Differentialrechnung kommt die Eulersche Zahl vor. An der Stelle ${\displaystyle e}$ liegt das Maximum der Funktion ${\displaystyle f(x)=x^{\tfrac {1}{x}}=e^{\tfrac {\ln(x)}{x}}}$. Außerdem befindet sich an der Stelle ${\displaystyle e^{-1}}$ das Minimum der Funktion ${\displaystyle f(x)=x^{x}=e^{x\cdot \ln(x)}}$. Das kann jeweils mithilfe der Ableitungsfunktion gezeigt werden.

Charakterisierung der Eulerschen Zahl nach Steiner

Im vierzigsten Band von Crelles Journal aus dem Jahre 1850 gibt der Schweizer Mathematiker Jakob Steiner eine Charakterisierung der Eulerschen Zahl ${\displaystyle e}$, wonach ${\displaystyle e}$ als Lösung einer Extremwertaufgabe verstanden werden kann. Steiner zeigte nämlich, dass die Zahl ${\displaystyle e}$ charakterisierbar ist als diejenige eindeutig bestimmte positive reelle Zahl, die beim Wurzelziehen mit sich selbst die größte Wurzel liefert. Wörtlich schreibt Steiner: „Wird jede Zahl durch sich selbst radicirt, so gewährt die Zahl e die allergrößte Wurzel.“^[32]

Steiner behandelt hier die Frage, ob für die Funktion

${\displaystyle f\colon (0,\infty )\to (0,\infty ),\;x\mapsto f(x)={\sqrt[{x}]{x}}=x^{\frac {1}{x}}}$

das globale Maximum existiert und wie es zu bestimmen ist. Seine Aussage ist, dass es existiert und dass es angenommen wird in und nur in ${\displaystyle x_{\mathrm {max} }=e}$.

In seinem Buch Triumph der Mathematik gibt Heinrich Dörrie eine elementare Lösung dieser Extremwertaufgabe. Sein Ansatz geht von der folgenden wahren Aussage über die reelle Exponentialfunktion aus:

${\displaystyle \forall y\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\colon e^{y}>1+y}$

Nach der Substitution ${\displaystyle y={\frac {x-e}{e}}}$ folgt für alle reellen Zahlen ${\displaystyle x\neq e}$

${\displaystyle e^{\frac {x-e}{e}}>1+{\frac {x-e}{e}},}$

mittels einfacher Umformungen weiter

${\displaystyle e^{\frac {x}{e}}>x}$

und schließlich für alle positiven ${\displaystyle x\neq e}$ durch Radizieren^[33][34]

${\displaystyle {\sqrt[{e}]{e}}>{\sqrt[{x}]{x}}.}$

Bruchnäherungen

Für die Zahl ${\displaystyle e}$ und daraus abgeleitete Größen gibt es verschiedene näherungsweise Darstellungen mittels Brüchen. So fand Charles Hermite die folgenden Bruchnäherungen:

${\displaystyle e\approx {\frac {58291}{21444}}\approx 2{,}718289498}$

${\displaystyle e^{2}\approx {\frac {158452}{21444}}\approx 7{,}38910651}$

Hier weicht der erstgenannte Bruch um weniger als 0,0003 Prozent von ${\displaystyle e}$ ab.^[35]

Die optimale Bruchnäherung im dreistelligen Zahlenbereich, also die optimale Bruchnäherung ${\displaystyle e\approx {\frac {Z_{0}}{N_{0}}}}$ mit ${\displaystyle N_{0},Z_{0}<1000}$, ist

${\displaystyle e\approx {\frac {878}{323}}\approx 2{,}718266254}$.^[36]

Diese Näherung ist jedoch nicht die beste Bruchnäherung im Sinne der Forderung, dass der Nenner höchstens dreistellig sein soll. Die in diesem Sinne beste Bruchnäherung ergibt sich als 9. Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung der Eulerschen Zahl:

${\displaystyle e\approx {\frac {1457}{536}}\approx 2{,}71828358\dots }$

Aus den Näherungsbrüchen der zu ${\displaystyle e}$ gehörenden Kettenbruchentwicklungen (s. o.) ergeben sich Bruchnäherungen beliebiger Genauigkeit für ${\displaystyle e}$ und daraus abgeleitete Größen. Mit diesen findet man sehr effizient beste Bruchnäherungen der Eulerschen Zahl in beliebigen Zahlenbereichen. So erhält etwa im fünfstelligen Zahlenbereich die beste Bruchnäherung

${\displaystyle e\approx {\frac {49171}{18089}}\approx 2{,}718281828735\dots }$,

die zeigt, dass die von Charles Hermite für die Eulersche Zahl im fünfstelligen Zahlenbereich gefundene Bruchnäherung noch nicht optimal war.

In gleicher Weise hat etwa C. D. Olds gezeigt, dass durch die Näherung

${\displaystyle {\frac {e-1}{2}}\approx {\frac {342762}{398959}}}$

für die Eulersche Zahl eine weitere Verbesserung, nämlich

${\displaystyle e\approx {\frac {1084483}{398959}}\approx 2{,}7182818284585\dots }$,

zu erzielen ist.^[37]

Insgesamt beginnt die Folge der besten Näherungsbrüche der Eulerschen Zahl, die sich aus ihrer regelmäßigen Kettenbruchdarstellung ergeben, folgendermaßen:^[38]

${\displaystyle {\frac {p_{0}}{q_{0}}}=[2]={\frac {2}{1}}}$

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{q_{1}}}=[2;1]={\frac {3}{1}}}$

${\displaystyle {\frac {p_{2}}{q_{2}}}=[2;1,2]={\frac {8}{3}}}$

${\displaystyle {\frac {p_{3}}{q_{3}}}=[2;1,2,1]={\frac {11}{4}}}$

${\displaystyle {\frac {p_{4}}{q_{4}}}=[2;1,2,1,1]={\frac {19}{7}}}$

${\displaystyle {\frac {p_{5}}{q_{5}}}=[2;1,2,1,1,4]={\frac {87}{32}}}$

${\displaystyle {\frac {p_{6}}{q_{6}}}=[2;1,2,1,1,4,1]={\frac {106}{39}}}$

${\displaystyle {\frac {p_{7}}{q_{7}}}=[2;1,2,1,1,4,1,1]={\frac {193}{71}}}$

${\displaystyle {\frac {p_{8}}{q_{8}}}=[2;1,2,1,1,4,1,1,6]={\frac {1264}{465}}}$

${\displaystyle {\frac {p_{9}}{q_{9}}}=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1]={\frac {1457}{536}}}$

${\displaystyle {\frac {p_{10}}{q_{10}}}=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1]={\frac {2721}{1001}}}$

${\displaystyle {\frac {p_{11}}{q_{11}}}=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8]={\frac {23225}{8544}}}$

${\displaystyle \dots }$

${\displaystyle {\frac {p_{20}}{q_{20}}}=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,14]={\frac {410105312}{150869313}}}$

${\displaystyle \dots }$

Berechnung der Nachkommastellen

Zur Berechnung der Nachkommastellen wird meist die Reihendarstellung

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\dotsb =1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+\dotsb }$

ausgewertet, die schnell konvergiert. Wichtig bei der Implementierung ist dabei Langzahlarithmetik, damit die Rundungsfehler nicht das Ergebnis verfälschen. Ein Verfahren, das ebenfalls auf dieser Formel beruht, aber ohne aufwendige Implementierung auskommt, ist der Tröpfelalgorithmus zur Berechnung der Nachkommastellen von ${\displaystyle e}$, den A. H. J. Sale fand.^[39]

Die Eulersche Zahl in den Medien

In der Fernsehserie Die Simpsons und ihrer Nachfolgeserie Futurama kommen viele mathematische Bezüge vor, einige haben auch mit der eulerschen Zahl ${\displaystyle e}$ und Euler zu tun.^[42]

1995 gewährte in der Fernsehserie Akte X – Die unheimlichen Fälle des FBI die Zahlenreihe 2-7-1-8-2-8 zwei FBI-Agenten den Zutritt zu einem geheimen Archiv. Dort war nicht von der Eulerschen Zahl, sondern von Napiers Konstante die Rede.^[43]

Literatur

• Ernst Hairer, Gerhard Wanner: Analysis in historischer Entwicklung. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-13766-2. 
• J. Steiner: Über das größte Product der Theile oder Summanden jeder Zahl. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 40, 1850, S. 208 (gdz.sub.uni-goettingen.de). 
• Leonhard Euler: Einleitung in die Analysis des Unendlichen. Erster Teil der Introductio in Analysin Infinitorum. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1983, ISBN 3-540-12218-4 (MR0715928 – Reprint der Ausgabe Berlin 1885). 
• David Wells: Das Lexikon der Zahlen. Aus dem Englischen von Dr. Klaus Volkert. Originaltitel: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Fischer Taschenbuch Verlag, Frankfurt/Main 1990, ISBN 3-596-10135-2. 
• Eli Maor: e: the Story of a Number. Princeton University Press, Princeton 1994, ISBN 978-0-691-14134-3. 
• Brian J. McCartin: e: The Master of All. Mathematical Intelligencer, Band 28, 2006, Nr. 2, S. 10–21. Der Artikel erhielt den Chauvenet-Preis. mathdl.maa.org
• Eli Maor: Die Zahl e: Geschichte und Geschichten. Birkhäuser Verlag, Basel (u. a.) 1996, ISBN 3-7643-5093-8. 
• Oskar Perron: Irrationalzahlen. Nachdruck der 2., durchgesehenen Auflage (Berlin, 1939). 4. durchgesehene und ergänzte. Walter de Gruyter Verlag, Berlin 2011, ISBN 978-3-11-083604-2, doi:10.1515/9783110836042.fm. 
• C. D. Olds: The simple continued fraction expansion of e. In: American Mathematical Monthly. Band 77, 1971, S. 968–974. 
• Heinrich Dörrie: Triumph der Mathematik. Hundert berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kultur. 5. Auflage. Physica-Verlag, Würzburg 1958. 
• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 2). 5., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin / Göttingen / Heidelberg / New York 1964, ISBN 3-540-03138-3 (MR0183997). 
• Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen – Band II: Analytisch-funktionentheoretische Kettenbrüche. Reprografischer Nachdruck der dritten, verbesserten und durchgesehenen Auflage, Stuttgart 1957. 4. durchgesehene und ergänzte. Teubner Verlag, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02022-X. 

Weblinks

Commons: Eulersche Zahl – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: eulersche Zahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Xavier Gourdon, Pascal Sebah, The constant e and its computation, Ausführliche Informationen und Angaben zu relevanter Literatur (englisch)
• Matheguru, Die Zahl e, Verständliche Erklärung und Herleitung der Eulerschen Zahl
• e auf eine Million Stellen bei Project Gutenberg (englisch)
• The number e, MacTutor History of Mathematics
• Eric W. Weisstein: e. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise und Fußnoten

1. ↑ Folge A001113 in OEIS
2. ↑ Man beachte: Die Eulersche Zahl ist nicht identisch mit der Euler-Mascheroni-Konstante ${\displaystyle \gamma }$, die in manchen Quellen den ähnlich klingenden Namen Eulersche Konstante hat.
3. ↑ Fun Holiday – e-Day
4. ↑ Euler: Einleitung … (§ 122). S. 226–227. 
5. ↑ Euler: Einleitung … (§§ 123,125). S. 91–94. 
6. ↑ ^{a b} Knopp: Theorie und Anwendung… (§ 9). S. 84. 
7. ↑ Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 178
8. ↑ H. Wußing: Vorlesungen zur Geschichte der Mathematik. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1979, S. 130.
9. ↑ Peter Mäder: Mathematik hat Geschichte. Metzler Verlag, Hannover, 1992, ISBN 3-8156-3363-X, S. 86–87.
10. ↑ Otto Toeplitz: Die Entwicklung der Infinitesimalrechnung. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1972, ISBN 3-534-06008-3, S. 25–27.
11. ↑ Toeplitz, S. 53–55.
12. ↑ Toeplitz, S. 91.
13. ↑ R. P. Burn: Alphonse Antonio de Sarasa and Logarithms, Historia Mathematica 28:1 (2001) – 17
14. ↑ Stefan Krauss: Die Entdeckungsgeschichte und die Ausnahmestellung einer besonderen Zahl: ${\displaystyle e=2{,}71828182845904523536\dots }$ (PDF; 211 kB). In: The Teaching of Mathematics, 1999, Vol.II, 2, S. 105–118.
15. ↑ https://leibniz.uni-goettingen.de/files/pdf/Leibniz-Edition-III-5.pdf, hier zum Beispiel Brief Nr. 6
16. ↑ http://eulerarchive.maa.org//correspondence/letters/OO0729.pdf, S. 58: „…(e denotat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est = 1), ...“ deutsch: „… (e bezeichnet die Zahl, deren hyperbolischer [d.h. natürlicher] Logarithmus gleich 1 ist), … )“
17. ↑ https://scholarlycommons.pacific.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1852&context=euler-works, „Scribatur pro numero cujus logarithmus est unitas, e, qui est 2,7182817…“ (deutsch: „Geschrieben für die Zahl, deren Logarithmus die Einheit e hat, die 2,7182817… ist.…“
18. ↑ https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/853/
19. ↑ Euler: Einleitung … (§ 122). S. 91.  Euler schreibt (gemäß der Übersetzung von Hermann Maser) dazu: „Wir werden nun in der Folge der Kürze wegen für diese Zahl ${\displaystyle 2{,}718281828459\cdots }$ stets den Buchstaben ${\displaystyle e}$ gebrauchen, so dass also ${\displaystyle e}$ die Basis der natürlichen oder hyperbolischen Logarithmen bedeutet, […], oder es soll ${\displaystyle e}$ stets die Summe der unendlichen Reihe ${\displaystyle 1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}+\cdots }$ bezeichnen.“
20. ↑ Hans F. Ebel, Claus Bliefert, Walter Greulich: Schreiben und Publizieren in den Naturwissenschaften. 5. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim, ISBN 3-527-66027-5. 
21. ↑ Paulo Ribenboim: Meine Zahlen, meine Freunde: Glanzlichter der Zahlentheorie. Springer-Lehrbuch, 2009, ISBN 978-3-540-87955-8, S. 299.
22. ↑ Richard George Stoneham: A general arithmetic construction of transcendental non-Liouville normal numbers from rational fractions. (PDF; 692 kB). In: Acta Arithmetica, 16, 1970, S. 239–253.
23. ↑ Die Stirling-Formel. (PDF; 76 kB). In: James Stirling: Methodus Differentialis. 1730, S. 1.
24. ↑ Ernst Hairer, Gerhard Wanner: Analysis in historischer Entwicklung. 2011, S. 41.
25. ↑ Perron: Irrationalzahlen. S. 115. 
26. ↑ Euler, S. 305.
27. ↑ ^{a b} Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen. Band II, S. 19. 
28. ↑ Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen. Band II, S. 157. 
29. ↑ Man beachte die Verbindung zu Identität (3)!
30. ↑ Gal Raayoni et al.: The Ramanujan Machine: Automatically Generated Conjectures on Fundamental Constants. arxiv:1907.00205, revidierte Fassung vom 23. Juli 2019, abgerufen am 28. Juli 2019.
31. ↑ P. Mäder, S. 96/7
32. ↑ Über das größte Product der Theile oder Summanden jeder Zahl. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 40, 1850, S. 208. 
33. ↑ Dörrie, S. 358.
34. ↑ Man kann diese Aufgabe auch mit den bei der Kurvendiskussion in der Differentialrechnung angewandten Methoden lösen.
35. ↑ Maor, S. 185.
36. ↑ Wells, S. 46.
37. ↑ Olds: The simple continued fraction expansion of e. In: Amer. Math. Monthly. 1971, S. 973. 
38. ↑ Siehe Folge A007676 in OEIS für die Zähler und Folge A0A007677 in OEIS für die Nenner.
39. ↑ A. H. J. Sale: The Calculation of e to Many Significant Digits. In: The Computer Journal. Band 11, Nr. 2, August 1968, S. 229–230, doi:10.1093/comjnl/11.2.229. 
40. ↑ Leonhardo Eulero: Introductio in analysin infinitorum. Band 1, Marcus-Michaelis Bousquet und socii, Lausannæ 1748 (lateinisch; „2,71828182845904523536028“ auf books.google.de S. 90).
41. ↑ ^{a b c d e f g h i} Alexander J. Yee: e. In: numberworld.org. 5. Dezember 2020, abgerufen am 12. Dezember 2020 (englisch). 
42. ↑ Simon Singh: Homers letzter Satz. dtv, München 2013, ISBN 978-3-423-34847-8.
43. ↑ Diplomarbeit: Die Zahl e. (PDF; 1,1 MB), S. 6.