Endlichkeitssatz von Ahlfors

In der Mathematik beschreibt der Endlichkeitssatz von Ahlfors die geometrisch endlichen Enden hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten.

Endlichkeitssatz von Ahlfors

Sei ${\displaystyle \Gamma }$ eine endlich erzeugte Kleinsche Gruppe und ${\displaystyle \Omega \subset \partial _{\infty }\mathbb {H} ^{3}}$ ihr Diskontinuitätsbereich.

Dann hat ${\displaystyle \Gamma \backslash \Omega }$ endlich viele Zusammenhangskomponenten und jede dieser Zusammenhangskomponenten ist eine kompakte Riemannsche Fläche mit endlich vielen Punktierungen.

Quantitative Version

Die folgenden beiden Ungleichungen gehen auf Bers^[1] zurück.

Sei ${\displaystyle \Gamma }$ eine nicht-elementare Kleinsche Gruppe mit ${\displaystyle N}$ Erzeugern, dann ist

${\displaystyle Area(\Gamma \backslash \Omega )\leq 4\pi (N-1)}$

mit Gleichheit nur für Schottky-Gruppen.

Für jede ${\displaystyle \Gamma }$-invariante Zusammenhangskomponente ${\displaystyle \Omega _{1}}$ gilt

${\displaystyle Area(\Gamma \backslash \Omega )\leq 2Area(\Gamma \backslash \Omega _{1})}$

mit Gleichheit nur für Fuchssche Gruppen erster Art.

Höhere Dimension

Für endlich erzeugte, diskrete Untergruppen von ${\displaystyle Isom(\mathbb {H} ^{n}),n\geq 4}$, gilt im Allgemeinen kein Endlichkeitssatz. Gegenbeispiele wurden 1991 von Kapovich und Potyagailo angegeben.^[2][3]

Geschichte

Der Satz wurde 1964 von Ahlfors bewiesen^[4] und der Beweis 1967 von Greenberg^[5] vervollständigt. Laut Ahlfors hatte Bers zuvor bereits den analogen Satz für Fuchssche Gruppen bewiesen. Einen einfacheren Beweis gab später Dennis Sullivan, wobei er Analogien zur Iteration rationaler Funktionen ausnutzte.

Einzelnachweise

1. ↑ L. Bers: Inequalities for finitely generated Kleinian groups, Journal d'Analyse Mathématique 18, 23–41, 1967.
2. ↑ M. Kapovich, L. Potyagailo: On absence of Ahlfors' finiteness theorem for Kleinian groups in dimension 3, Topology and its Applications 40, 83-91, 1991.
3. ↑ M. Kapovich, L. Potyagailo: On absence of Ahlfors' and Sullivan's finiteness theorems for Kleinian groups in higher dimensions, Siberian Math. Journ. 32, 61-73, 1991.
4. ↑ L. Ahlfors: Finitely generated Kleinian groups, American Journal of Mathematics 86, 413–429, 1964.
5. ↑ L. Greenberg: On a theorem of Ahlfors and conjugate subgroups of Kleinian groups, American Journal of Mathematics 89, 56–68, 1967.