Einheits-Tangentialbündel

In der Mathematik bezeichnet das Einheits-Tangentialbündel den Raum aller Tangentialvektoren der Länge 1 zu einer gegebenen Mannigfaltigkeit, zum Beispiel zu einer Fläche im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Der Begriff spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie und der Theorie der dynamischen Systeme.

Definition

Es sei ${\displaystyle (M,g)}$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle TM}$ ihr Tangentialbündel. Das Einheits-Tangentialbündel ist

${\displaystyle T^{1}M:=\coprod _{x\in M}\left\{v\in T_{x}(M)\left|g(v,v)=1\right.\right\}.}$

In der englischsprachigen Literatur wird das Einheits-Tangentialbündel häufig auch mit ${\displaystyle UTM}$ bezeichnet.

Topologische Eigenschaften

Das Einheits-Tangentialbündel ${\displaystyle T^{1}M}$ ist ein Sphärenbündel über ${\displaystyle M}$ also insbesondere auch ein Faserbündel. Die Fasern sind ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionale Sphären für ${\displaystyle n=\dim(M)}$.

${\displaystyle T^{1}M}$ ist eine ${\displaystyle (2n-1)}$-dimensionale Mannigfaltigkeit. Sie ist genau dann kompakt, wenn ${\displaystyle M}$ kompakt ist.

Beispiele

• ${\displaystyle T^{1}S^{2}}$ ist diffeomorph zu ${\displaystyle \mathbb {R} P^{3}=SO(3)}$.
• ${\displaystyle T^{1}T^{2}}$ ist diffeomorph zum 3-Torus.

Liouville-Maß

Auf ${\displaystyle T^{1}M}$ ist eine kanonische 1-Form ${\displaystyle \theta }$ definiert durch

${\displaystyle \theta _{u}(v)=g(u,\pi _{*}v)\ \forall \ u\in T^{1}M,v\in T_{u}(T^{1}M),}$

wobei ${\displaystyle \pi \colon T^{1}M\to M}$ die Projektion bezeichnet.

Die ${\displaystyle (2n-1)}$-Form ${\displaystyle \theta \wedge (d\theta )^{n-1}}$ ist eine Volumenform und definiert ein Maß auf ${\displaystyle T^{1}M}$, das Liouville-Maß.

${\displaystyle T^{1}M}$ und das Liouville-Maß sind invariant unter dem geodätischen Fluss.

Literatur

• Jürgen Jost: Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-42627-2
• Jeffrey M. Lee: Manifolds and Differential Geometry. Graduate Studies in Mathematics Vol. 107, American Mathematical Society, Providence (2009). ISBN 978-0-8218-4815-9
• Ralph Abraham und Jerrold E. Marsden: Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London. ISBN 0-8053-0102-X