Einfach zusammenhängende algebraische Gruppe

In der Mathematik sind einfach zusammenhängende algebraische Gruppen ein Begriff aus der algebraischen Geometrie.

Definition

Eine halbeinfache algebraische Gruppe ${\displaystyle G}$ über einem Körper ${\displaystyle k}$ heißt einfach zusammenhängend, wenn jede Isogenie

${\displaystyle f\colon H\to G}$

einer zusammenhängenden algebraischen Gruppe ${\displaystyle H}$ auf ${\displaystyle G}$ ein Isomorphismus ist.

Beispiele

• Die spezielle lineare Gruppe ${\displaystyle SL_{n}}$ ist einfach zusammenhängend.
• Die symplektische Gruppe ${\displaystyle Sp_{2n}}$ ist einfach zusammenhängend.
• Eine halbeinfache algebraische Gruppe ${\displaystyle G}$ über ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$ ist genau dann einfach zusammenhängend, wenn die topologische Gruppe ${\displaystyle G(\mathbb {C} )}$ ein einfach zusammenhängender Raum ist.

Literatur

• G. Hochschild, "The structure of Lie groups", Holden-Day (1965)
• R. Hermann, "Lie groups for physicists", Benjamin (1966)
• J.E. Humphreys, "Linear algebraic groups", Springer (1975)

Weblinks

• Simply-connected Group (Encyclopedia of Mathematics)