π-System

Ein π-System, auch durchschnittstabiles Mengensystem oder kurz schnittstabiles System genannt, ist ein spezielles Mengensystem, das im axiomatischen Aufbau der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Maßtheorie verwendet werden kann.

Definition

Gegeben sei ein Mengensystem ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, also eine Teilmenge der Potenzmenge einer Grundmenge ${\displaystyle \Omega }$. ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ heißt ein π-System, durchschnittstabiles Mengensystem oder schnittstabiles System, wenn für beliebige zwei Mengen ${\displaystyle A,B}$ aus dem Mengensystem ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ gilt, dass ${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {S}}}$ ist.

Beispiele

Für eine beliebige Grundmenge ${\displaystyle \Omega }$ sei das Mengensystem

${\displaystyle {\mathcal {S}}:=\{A\subset \Omega \mid |A|<\infty \}}$

aller endlichen Teilmengen gegeben. Für zwei beliebige ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {S}}}$ ist nun ${\displaystyle |A\cap B|\leq \min(|A|,|B|)}$, der Schnitt endlicher Mengen ist immer endlich. Also ist auch ${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {S}}}$, es handelt sich somit um ein schnittsstabiles System.

Eigenschaften

• Ist das Mengensystem stabil unter Komplementbildung, so ist es genau dann durchschnittsstabil, wenn es vereinigungsstabil ist. Dies folgt direkt aus den de Morganschen Gesetzen.
• Ist das Mengensystem ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ stabil unter Differenzmengenbildung, dann ist es auch ein π-System. Dies folgt aus ${\displaystyle A\cap B=A\setminus (A\setminus B)\in {\mathcal {S}}}$.

Verwendung

Durchschnittsstabile Mengensysteme treten an einigen Stellen in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastik auf. So ist die Durchschnittsstabilität eine wichtige Voraussetzung an den Erzeuger einer σ-Algebra, um nur auf diesem Erzeuger die stochastische Unabhängigkeit der Zufallsvariablen überprüfen zu müssen.

Wichtigste Anwendung ist der sogenannte dynkinsche π-λ Satz. Ist ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ein π-System, dann stimmen die von ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ erzeugte σ-Algebra und das erzeugte Dynkin-System überein, es gilt also

${\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})=\delta ({\mathcal {S}})}$.

Siehe auch

• Monotone Klasse
• Σ-Algebra
• Dynkin-System

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3. 
• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2., überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1992, ISBN 3-11-013626-0. 
• Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, S. 20, doi:10.1007/978-3-663-01244-3.