Dimensionsformel

Die Dimensionsformel entstammt dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Sie gibt an, wie sich die Dimension der Summe zweier endlichdimensionaler Untervektorräume ${\displaystyle V_{1}}$, ${\displaystyle V_{2}}$ eines größeren Vektorraumes berechnen lässt:

${\displaystyle \dim \left(V_{1}+V_{2}\right)=\dim V_{1}+\dim V_{2}-\dim \left(V_{1}\cap V_{2}\right)}$

Sie folgt unmittelbar aus dem Rangsatz. Einen Spezialfall stellt die Situation ${\displaystyle V_{1}\oplus V_{2}=V_{1}+V_{2}}$ dar (siehe Direkte Summe). Die Dimensionsformel reduziert sich in diesem Fall auf

${\displaystyle \dim \left(V_{1}+V_{2}\right)=\dim V_{1}+\dim V_{2},}$

da für eine direkte Summe gilt

${\displaystyle V_{1}\cap V_{2}=\{0\}.}$

Der Untervektorraum, den der Schnitt von ${\displaystyle V_{1}}$ und ${\displaystyle V_{2}}$ darstellt, ist somit der Nullvektorraum, dessen Dimension gleich Null ist.

Ist ${\displaystyle V_{1}}$ oder ${\displaystyle V_{2}}$ unendlichdimensional, so ist es nicht mehr möglich die Subtraktion auszuführen. Es gilt jedoch in jedem Fall

${\displaystyle \dim \left(V_{1}+V_{2}\right)\geq \max\{\dim V_{1},\dim V_{2}\}}$

und

${\displaystyle \dim \left(V_{1}+V_{2}\right)\leq \dim \left(V_{1}\oplus V_{2}\right)=\dim V_{1}+\dim V_{2}}$.

Da für zwei Kardinalzahlen, von denen zumindest eine unendlich ist, die Summe gleich dem Maximum der beiden ist, ist also in dem Fall, dass einer der beiden Teilräume unendlichdimensional ist, ${\displaystyle \dim \left(V_{1}+V_{2}\right)=\max\{\dim V_{1},\dim V_{2}\}}$.

Literatur

• Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer-Verlag, 2001, ISBN 3-540-41853-9, S. 46–47.