Determinantenfunktion

Eine Determinantenfunktion oder Determinantenform ist in der linearen Algebra eine spezielle Funktion, die einer Folge von ${\displaystyle n}$ Vektoren eines ${\displaystyle n}$-dimensionalen Vektorraums eine Zahl zuordnet.

Definition

Sei ${\displaystyle V}$ ein ${\displaystyle n}$-dimensionaler Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle K}$. Dann heißt eine Funktion ${\displaystyle f\colon V^{n}\rightarrow K}$ Determinantenfunktion, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:

• ${\displaystyle f}$ ist multilinear, d. h. linear in jeder Variablen:

${\displaystyle \forall \,i\in \left\{1,\ldots ,n\right\},\;\forall \,a,b\in V\colon f\left(v_{1},\ldots ,v_{i-1},a+b,v_{i+1},\ldots ,v_{n}\right)=f\left(v_{1},\ldots ,v_{i-1},a,v_{i+1},\ldots ,v_{n}\right)+f\left(v_{1},\ldots ,v_{i-1},b,v_{i+1},\ldots ,v_{n}\right)}$ (Additivität)

${\displaystyle \forall \,i\in \left\{1,\ldots ,n\right\},\;\forall \,a\in V,\;\forall \,r\in K\colon f\left(v_{1},\ldots ,v_{i-1},r\cdot a,v_{i+1},\dots ,v_{n}\right)=r\cdot f\left(v_{1},\ldots ,v_{i-1},a,v_{i+1},\ldots ,v_{n}\right)}$ (Homogenität)

• ${\displaystyle f}$ ist alternierend:

${\displaystyle \left(\exists \,r,s\in \left\{1,\ldots ,n\right\},r\neq s\colon v_{r}=v_{s}\right)\Rightarrow f\left(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\right)=0}$

Eigenschaften

• Eine Determinantenfunktion ist schiefsymmetrisch, allgemeiner gilt für eine Permutation ${\displaystyle \sigma }$: ${\displaystyle f\left(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\dots ,v_{\sigma (n)}\right)=\mathrm {sgn} (\sigma )\cdot f\left(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\right)}$, wobei ${\displaystyle \mathrm {sgn} }$ das Signum der Permutation bezeichnet.

• Sind ${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\in V}$ linear abhängig, so gilt ${\displaystyle f(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})=0}$. Für eine nicht-triviale Determinantenfunktion (d. h. ${\displaystyle f\not \equiv 0}$) gilt auch die Umkehrung dieser Aussage.

• Sind ${\displaystyle f,g:V^{n}\rightarrow K}$ zwei Determinantenfunktionen und ${\displaystyle f\not \equiv 0}$, dann gibt es ein ${\displaystyle a\in K}$ so, dass ${\displaystyle g(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})=a\cdot f(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})\;\forall \,v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\in V}$. Das bedeutet, dass es bis auf eine Normierungskonstante nur eine nicht-triviale Determinantenfunktion gibt, alle anderen Determinantenfunktionen lassen sich durch Multiplikation mit einer Konstanten gewinnen. Tatsächlich existiert auf jedem Vektorraum eine nicht-triviale Determinantenfunktion.

Beispiele

• Die Nullfunktion ist die sog. triviale Determinantenfunktion.
• ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$, mit der üblichen Determinante als Determinantenfunktion.
• Aus dem vorangehenden Beispiel durch Multiplikation der Determinante mit einer Konstante gewonnene Determinantenfunktionen.

Literatur

• H. Zieschang: Lineare Algebra und Geometrie. B.G. Teubner, Stuttgart 1997. ISBN 3-519-02230-3
• S. Bosch: Lineare Algebra. Springer-Verlag, Münster 2008. ISBN 3-540-76437-2